中国科学院大学 数值分析（电子与通信类） 2024年期末试题解答

严正声明：此份试题为考后回忆版，目的为交流学习，严禁用作他用。

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第一问
解：
由题意得
$\frac{|{\hat{d}}^2-d^2|}{d^2}\le 1\%$
$\frac{|\hat{d}-d|}{d}\frac{|\hat{d}+d|}{d}\le 1\%$
因为$\frac{|\hat{d}+d|}{d}\approx 2$
所以$\frac{|\hat{d}-d|}{d}\le 0.5\%$
则边长$d$允许的相对误差限为$0.5\%$。

第二问
解：
由题意得$\varphi (x)=1+\frac{1}{x^2}$，令$x\in [1.3,1.7]$，$\varphi (x)\in [1.3,1.7]$，且$|{\varphi }^{{}^{\prime }}(x)|<1$，因此该迭代公式产生的迭代序列在$[1.3,1.7]$这个区间内全局收敛，故$x_0=1.5$时肯定收敛。
执行迭代，
$x^{(0)}=1.5$
$x^{(1)}=1.4444$
$x^{(2)}=1.4793$
$x^{(3)}=1.4570$
$x^{(4)}=1.4711$
$x^{(5)}=1.4621$
$x^{(6)}=1.4677$
此时若保留三位正确的有效数字，则该迭代序列收敛到1.46，证明该迭代序列收敛。

第三问
解：
（1）按照课本中提到的公式写即可；
（2）该线性方程组的系数矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}20& 4& 6\\ 4& 20& 8\\ 6& 8& 20\end{array}\right]$，该矩阵按行严格对角占优，两种迭代法均收敛。

第四问
解：
令$f(x)=(x+1)(x-x_1)(x-1)$，${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=0$，解得$x_1=0$
同理分别令$f(x)=1$，$f(x)=x$，$f(x)=x^2$,可得
$\{\begin{array}{l}{A}_0+A_1+A_2=2\\ -A_0+A_1{x}_1+A_2=0\\ A_0+A_1{x}_1^2+A_2=\frac{2}{3}\end{array}$
解得
$\{\begin{array}{l}{A}_0=\frac{1}{3}\\ A_1=\frac{4}{3}\\ A_2=\frac{1}{3}\end{array}$
令$f(x)=x^4$，${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=\frac{2}{5}\ne \frac{1}{3}f(-1)+\frac{4}{3}f(0)+\frac{1}{3}f(1)=\frac{2}{3}$，因此该求积公式有三次代数精度。
考虑对$f(x)$执行埃尔米特插值，则需要四个插值条件，分别为$f(-1)=H(1)，f(0)=H(0)，f(1)=H(1)，f^{{}^{\prime }}（0）=H^{{}^{\prime }}(0)$
则该求积公式的余项为
$R={\int }_{-1}^1\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}(x+1)(x-0{)}^2(x-1)dx=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}{\int }_{-1}^1(x+1)x^2(x-1)dx=-\frac{f^{(4)}(\xi )}{90}$，$\xi$与$x，-1，0，1$有关。

第五问
解：
（1）带入条件列得一个二元一次方程组，解的$\alpha =0.666，\beta =-0.6$；
（2）对$\alpha$施加一个微小扰动$ϵ$，则
$f(\hat{\alpha })=(\alpha +ϵ)x^{12}+\beta x^{13}$
$f(\hat{\alpha })=\alpha x^{12}+\beta x^{13}+ϵx^{12}$
而$f(\alpha )=\alpha x^{12}+\beta x^{13}$
则$\frac{f(\hat{\alpha })-f(\alpha )}{ϵ}=x^{12}$
则条件数$con{d}_1=\Vert \frac{f(\hat{\alpha })-f(\alpha )}{ϵ}{\Vert }_{\infty }=\Vert x^{12}{\Vert }_{\infty }$
同理，对$\beta$施加一个微小扰动$ϵ$，则
$f(\hat{\beta })=\alpha x^{12}+(\beta +ϵ)x^{13}$
$f(\hat{\beta })=\alpha x^{12}+\beta x^{13}+ϵx^{13}$
而$f(\beta )=\alpha x^{12}+\beta x^{13}$
则$\frac{f(\hat{\beta })-f(\beta )}{ϵ}=x^{13}$
则条件数$con{d}_2=\Vert \frac{f(\hat{\beta })-f(\beta )}{ϵ}{\Vert }_{\infty }=\Vert x^{13}{\Vert }_{\infty }$
令向量$\vec{x}=[0.1,0.9{]}^T$，$con{d}_1=0.9^{12}$，$con{d}_2=0.9^{13}$
说明在$x=0.9$处$\alpha$和$\beta$的微小扰动对输出结果$f(x)$的影响更敏感。