“21天好习惯”第一期-4 快速幂

21天零基础入门ACM

21天零基础入门ACM之 第4天

快速幂

什么是快速幂

说到快速幂，顾名思义就是快速算出某个数的n次幂，他的方法就是把指数二分，从而达到加快速度的目的。
举个例子：
     $2^{10}$；
     可以写成 $2^8$ * $2^2$

     $10^{11}$;
     可以写成 $2^8$ * $2^2$ * $2^1$

     $2^{15}$;
     可以写成 $2^8$ * $2^4$ * $2^2$ * $2^1$;

把一个n次幂，转化为2的倍数次幂的积
如 10 二进制为 1010 即为 8次幂和4次幂的积
而 $2^8$ 即为 $2^4$的平方
由此来快速求幂

快速幂的模板

• 第一种（不取模）

typedef longlong ll;
ll qpow(ll a, ll b) {   //a的b次方
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)  //如果二进制的末尾为1，则ans乘以a  否则跳过
            ans *= a;
        b >>= 1;
        a *= a;
    }
    return ans;
}

• 第二种（取模）

typedef longlong ll;
ll qpow(ll a, ll b, ll mod) {   //a的b次方 结果对mod取模
    ll ans = 1;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1)
            (ans *= a) %= mod;
        b >>= 1;
        (a *= a) %= mod;
    }
    return ans % mod;
}

如果真的实在理解不了快速幂，直接背下来模板也可以。快速幂的模板很死，基本上不需要更改。

例题：

题目1：

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/8827/G

思路：

看到样例猜测结果是（m+1）的n次方，冲一发，就过来，嘿嘿😁。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define js ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
#define sc(x) scanf("%d",&x)
typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double ld;
inline ll gcd(ll x, ll y) { return y ? gcd(y, x % y) : x; }
inline ll read() { ll s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while (ch < 48 || ch > 57) { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }    while (ch >= 48 && ch <= 57) s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();    return s * w; }

const int mod=998244353;
const int N=1e5+7;

ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans *= a;
        b >>= 1;
        a *= a;
    }
    return ans;
}
ll qpow(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1)
            (ans *= a) %= mod;
        b >>= 1;
        (a *= a) %= mod;
    }
    return ans % mod;
}

ll n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    cout<<qpow(m+1,n,mod)<<endl;
}

题目2：

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/19115

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define js ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
#define sc(x) scanf("%d",&x)
typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double ld;
inline ll gcd(ll x, ll y) { return y ? gcd(y, x % y) : x; }
inline ll read() { ll s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while (ch < 48 || ch > 57) { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }    while (ch >= 48 && ch <= 57) s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();    return s * w; }

ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans *= a;
        b >>= 1;
        a *= a;
    }
    return ans;
}
ll qpow(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1)
            (ans *= a) %= mod;
        b >>= 1;
        (a *= a) %= mod;
    }
    return ans % mod;
}

const int mod=10007;
const int N=1e5+7;

ll n,m;

int main(){
    cin>>n>>m;
    if(n&1) cout<<qpow(m-1,n,mod)-m+1<<endl;
    else cout<<qpow(m-1,n,mod)+m-1<<endl;
}

题目3

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14718

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define js ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double ld;
inline ll gcd(ll x, ll y) { return y ? gcd(y, x % y) : x; }

const int mod =1e9+7;
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans *= a;
        b >>= 1;
        a *= a;
    }
    return ans;
}
ll qpow(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1)
            (ans *= a) %= mod;
        b >>= 1;
        (a *= a) %= mod;
    }
    return ans % mod;
}
ll n,m;

int main(){
    while(cin>>n>>m){
        ll ans=qpow(m%mod,n,mod);
        ll ans2=(qpow((m-1)%mod,n-1,mod)*(m%mod))%mod;
        cout<<(ans-ans2+mod)%mod<<endl;
        //cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}