代码随想录刷题攻略---动态规划3---股票问题2

 这一节的股票买卖含有冷冻期、手续费等。

例题1：最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组prices，其中第  prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

该题每一天有多种状态，第 k 次买入， 第 k 次卖出， 第 k 笔交易之后的冷静期， 第 k+1 次买入。。。但是题目并不会给 k 的个数，难以确定 k 的值。

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具体可以区分出如下 4 个状态

• 状态1：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
• 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
  • 状态2：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
  • 状态3：今天卖出股票
• 状态4：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

我们用 j 的值来表达这4个状态。

动规五部曲

2、确定递推公式

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i], dp[i-1][3] - prices[i]) 前一天是冷冻期/前一天不是冷冻期

dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]) 前一天也保持卖出/前一天是冷冻期

dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i] 今天卖出
dp[i][3] = dp[i-1][2] 达到冷冻期状态

3、dp 数组如何初始化

dp[0][0] = - prices[0], dp[0][1] = dp[0][2] = dp[0][3] = 0

4、确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

5、举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

最后结果是取 状态2，状态3，和状态4的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

code

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (n == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(4, 0));
        dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]));
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }
        return max(dp[n - 1][3], max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]));
    }
};

 结合股票问题1的题目，我发现股票问题的切入点在于找状态、分类状态、推导状态

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例题2：买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

• 输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
• 输出: 8

解释: 能够达到的最大利润:

• 在此处买入 prices[0] = 1
• 在此处卖出 prices[3] = 8
• 在此处买入 prices[4] = 4
• 在此处卖出 prices[5] = 9
• 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

例题2比例题1还简单一些

动规五部曲

1、确定 dp 数组含义 & 确定递推公式

• 持有股票 dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);
• 不持有股票（还没买过/卖出）dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i] - fee)。

2、初始化

dp[0][0] = - prices[0]，dp[0][1] = 0

3、遍历顺序

4、举例推导dp公式 

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
        }
        return max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]);
    }
};

总结

可以有多次交易————将以往交易种得到的利润加入后面的买入股票比较值

最多可以完成 k 次交易————用 k 个对应的状态来定义 dp 数组
多次交易，但没给定有多少次交易——使用 2 个 j 来概括买入、卖出的行为

尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票），但有冷冻期，冷冻期为1天————需要第三个状态：不持有股票（冷冻期）的最多现金