蓝桥杯练习（背包问题）

一 . 0-1背包（基础）

问题：

Bessie 去珠宝商店想要买一些魔法宝石。商店里有 n 个宝石，每个宝石的重量为 wi​，幸运值为 vi​。Bessie 的购物车只能装重量之和不超过 m 的商品，现在她想知道如何选择宝石，能让购买的幸运值之和最大。

输入格式

第一行两个整数 n,m，表示宝石的数量和购物车的承重能力。

接下来 n 行，每行两个整数 wi​,vi​，表示每个宝石的重量和幸运值。

「0-1 背包」是较为简单的动态规划问题，也是其余背包问题的基础。动态规划是不断决策求最优解的过程，「0-1 背包」即是不断对第 i 个物品的做出决策，「0-1」正好代表不选与选两种决定。每个物体只能用一次

二维：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN=1005;
int v[MAXN];//体积
int w[MAXN];//价值
int f[MAXN][MAXN]; //f[i][j]表示一种状态，即取n个宝石，体积不超过m时的最大幸运值

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
    //一维遍历物品看要不要拿，二维遍历背包容积，然后在数组中存储该状态下的最优价值，
    //那么在判断下一个物品时就能直接使用该最优解
	for(int i=1; i<=n; i++) //遍历
	{
		for(int j=1; j<=m; j++)
		{
			if(j<v[i])  //装不下，第i个宝石装入后体积超过m
			   f[i][j]=f[i-1][j];  //此时最优值就是i-1宝石时的状态
			else  //可以装入第i个宝石，那么判断是否要装入，装入前和装入后的幸运值取最大值
			   f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);	//此时的f[i - 1][j - v[i]]就是判断该物品之前容积为j-该物品容积的背包所能装的最优解   
		}
	}
	cout<<f[n][m]<<endl;  //输出最终状态
	return 0;
}

一维（由二维等价转换）：j表示背包容积，存储最优情况

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN=1005;
int v[MAXN],w[MAXN];
int f[MAXN];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=m; j>=v[i]; j--)  //逆序,很重要！！！
		{
			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

优化输入输出

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int f[MAXN];  // 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;      // 边输入边处理
        for(int j = m; j >= v; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

二 . 完全背包问题

和0-1背包问题类似，不过是每个物品由只能用一次变成了能用多次，代码也只有第二维 j 的访问

顺序不一样，二维到一维的简化过程较复杂，这里只写一维的代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1005;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=v[i]; j<=m; j++) ///不同之处！！！！
		{
			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout<<f[m];
	return 0;
	
}

参考：AcWing 4. 在？0基础教你这道题目(会了点下赞👍) - AcWingAcWing,题解,在？0基础教你这道题目(会了点下赞👍),https://www.acwing.com/solution/content/19213/

三 . 多重背包

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

可以将其拆成0-1背包，比如将三件第一种物品拆分成一件一件的记录

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10005],b[10005],t=0,n,m,dp[10005]={ },w,v,s;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    while(n--) //也可以for循环
    {
        cin>>v>>w>>s;
        while(s--)
        {
            a[++t]=v; //将每个重量值放入新数组
            b[t]=w;
        }//把多重背包拆成01背包
    }
    for(int i=1;i<=t;i++)// 这里是小于t，不再是n，现在拆分后是t个物品
    for(int j=m;j>=a[i];j--)
    dp[j]=max(dp[j-a[i]]+b[i],dp[j]);//直接套01背包的板子
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

参考链接：https://www.acwing.com/solution/content/13873/