机器学习之线性回归

一、简单的线性回归

例如： y=ax+b

这个公式中，y是目标变量(应变量)，x是自变量，x是影响y的因素，a,b的公式上的参数即要求的模型。在数学里面 y=ax+b是 一元一次方程，a是这个方程的斜率，b是在y的截距。

当我们有多个方程组(已知的x,y)，多个方程组解出来的参数a,b的值不一样。那我们需要寻求最优解

二、多元线性回归

1、多元线性回归公式

y:表示每条样本的真实值，每个样本有x1到xn个特征

x1到xn ：表示样本的特征值

β0 到βn ：表示特征的权值，代表对应的重要程度 ，也叫权重

上面的式子用向量表示

在多元线性回归中 W 是一维向量，代表的是 W0 到 Wn

三、最优解

Actual value:真实值，即已知的y

Predicted value:预测值，是把已知的x带到公式里面和猜出来的参数a,b计算得到的

Error:误差，预测值和真是值得差距

最优解：尽可能的找到一个模型使得整体的误差最小，整体的误差通常叫做损失loss

Loss:整体的误差，loss通过损失函数loss function（MSE：平方误差均值）计算得到

MES：误差和，也叫做loss损失，叫做平方均值损失

四、求出多元线性回归的损失函数

1、目的：通过损失函数来得出最优解

2、数学概念补充

2.1 中心极限定理含义：讲的是随机且独立的变量服从正太分布

2.2 正太分布的含义：落在中间概率较大，两侧概率较小，由期望和方差唯一决定，概率密度函数如图

2.3 最大似然估计：是用来估计一个概率模型的参数的一种方法

公式： 

最大似然估计详解：最大似然估计_百度百科

概率密度函数

3、过程： 

3.1 机器学习中我们假设误差符合均值为 0，方差为定值的正态分布，符合中心极限定理

3.2 正太分布的线性回归的最大总似然

由3.1 中我们可知误差服从了相互独立的假设，通过概率密度函数和概率连乘公式可得

其中概率连乘：条件：相互独立 

误差  

则上式可写成

 注意：求总似然的最大值，参数为θ

3.3 通过对数似然函数可以推导出损失函数 

使用对数似然函数的好处：提高计算效率，减少的计算时间

五、通过损失函数求出最优解的方法 

1、解析解方式

条件：损失函数为线性且为凸函数

通过解析解方式求多元线性回归最优解_宠乖仪的博客-优快云博客

2、梯度下降算法

参考：梯度下降法求解最优解_宠乖仪的博客-优快云博客

好处：可以解决非线性损失函数的求最优解问题

对损失函数进行求导，如下

六、sklearn模块中的 LinearRegression类

from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 创建线性实例
lin_reg =LinearRegression(
    fit_intercept=True    :默认为True 是否包括截距项；
    normalize=False       :默认为False  是否进行归一化处理，一般是单独进行归一化；
    copy_X=True           :默认为True  是否对X复制，如果为True, X将被复制;为False，它可能会被        
                            覆盖。
    positive              :值为True 强制系数为正。这选项只支持密集阵列。

    
    )
# LinearRegression类的方法
lin_reg.fit(X,y)  # 训练模型
# LinearRegression类的属性
lin_reg.coef_        # 除截距项以外的特征的权重值；
lin_reg.intercept_   # 截距项值，如果fit_intercept=False，那截距项为0

lin_reg.rank_         :整形，矩阵X的秩。仅当' X '密集时可用。
lin_reg.singular_     :数组的形状(min(X, y)，),' X '的奇异值。仅当' X '密集时可用。

# 用于预测测试集的值
lin_reg.predict(X)   # 返回测试集的预测值