【做题记录】Atcoder 做题记录

链接放的是洛谷上的链接。

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<summary>$\texttt{solution}$</summary>

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ARC083F

\(n\times n\) 的正方形上有 \(2n\) 个小球，第 \(i\) 个在 \((x_i,y_i)\)。

有 \(n\) 个 A 类机器人，第 \(i\) 个在 \((0,i)\)，有 \(n\) 个 B 类机器人，第 \(i\) 个在 \((i,0)\)。

启动一个 A 类机器人后，它会向右走，将碰到的第一个球收集起来，并返回起点。启动一个 B 类机器人后，它会向上走，将碰到的第一个球收集起来，并返回起点。

只有上一个机器人返回起点后，下一个机器人才会被启动。机器人一旦被使用过一次就不能被再次使用。

问你有多少种启动机器人的顺序，能够收集完所有小球。方案数对 \(10^9+7\) 取模 。

\(n\leq 10^5\)

$\texttt{solution}$

不会做，看题解去了。。每个机器人都会认领一个球，放到图上，发现这就是个基环树森林。

• 对于点对 \((x_i,y_i)\)，在 \(x_i\) 与 \(y_i\) 之间连边，相当于每个机器人都要认领一条边，发现如果不是基环树无法实现。
• 一条边可以被 \(x_i\) 处的或 \(y_i\) 处的机器人认领，不妨将每条边定向，那么每个点都会有一个出度，是一个内向基环树。

这样就将题目转化为在内向基环树森林上取点的方案数。

如果将这棵树上按照覆盖的顺序拎出来，可以发现这是一棵内向树，内向树拓扑排序数量如下，\(|S|\) 为森林的大小，\(siz_i\) 是子树 \(i\) 的大小：

\[\dfrac{|S|!}{\prod_{i}siz_i} \]

那么求出每棵树的方案乘起来就行了(基环树的环有两种方向！，加起来后乘起来)

AGC002F

给你 \(n\) 种颜色的球，每个球有 \(k\) 个，把这 \(n\times k\) 个球排成一排，把每一种颜色的最左边出现的球涂成白色(初始球不包含白色)，求有多少种不同的颜色序列，答案对 \(10^9+7\) 取模。

\(n,k\le 2000\)

$\texttt{solution}$

考虑这样一个 dp：设 \(dp(i,j)\) 表示已经放了 \(i\) 中颜色，放了 \(j\) 的球的方案数。

我们在放置一种颜色的球时，考虑直接放完这种颜色的所有球，那么就不会对接下来放球造成影响。

• 如果我们选择放置一个白球，直接放在能够放置的最前一个位置。
• 否则，需要先选择出这次放置的颜色，再选出放置的位置，直接转移。

当然，我们需要保证 \(i\le j\)，这保证我们的放置符合题意。

AGC003E

一串数，初始为 \(1\sim n\)，现在给 \(Q\) 个操作，每次操作把数组长度变为 \(q_i\)，新增的数为上一个操作后的数组的重复。问