基本0 - 1背包问题

基本0 - 1 背包

状态表示

dp[i][j]:前i个物品，背包容量j下的最优解（最大价值）

对于基本01背包，我们主要的问题就是拿或 不拿
如果不能拿，那么就将上一状态转移到当前状态
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
如果可以拿，我们就要比较拿或者是不拿哪一种价值最高

1. 不拿当前物品
   dp[i][j] = dp[i - 1][j]
2. 拿当前物品
   dp[i][j] = dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]

不拿当前物品，那么当前状态是上一状态的转移
拿当前物品，我们只要确定来拿这件物品，那么说明当前的背包容量一定是可以装下，那么我们就要来转移一个减去当前物品体积的状态，然后在加上当前物品的价值。

则当前状态的最优解为
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])

题目

输入

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出

8

朴素代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,c;
int w[N];//每个物品的体积
int v[N];//每个物品的价值
int dp[N][N];// 前 i 个物品，背包容量 j 下的最优解（最大价值）

int main()
{
    cin >> n >> c;
    
    for(int i = 1;i <= n ;i ++)
        cin >> w[i] >> v[i];
    
    for(int i = 1;i <= n ;i ++)
    {
        for(int j = 0;j <= c; j++)
        {
        	if(j < w[i])
        	{
        		//当前物品不能拿时
            	dp[i][j] = dp[i - 1][j];//先把上一状态进行转移
            }
            else
            {
                //当前物品可以拿时，比较拿和不拿哪一个价值最优
                dp[i][j]=max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[n][c] <<  endl;
    
    return 0;
}

优化

对于朴素代码，空间复杂度较高，面对数据很大的题目来说就可能爆内存
由朴素代码可知，当前状态只需要上一状态的转移，所以我们可以利用滚动数组的方法来降一维空间

优化代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,c;
int w[N];//每个物品的体积
int v[N];//每个物品的价值
int dp[N];// 前 i 个物品，背包容量 j 下的最优解（最大价值）

int main()
{
    cin >> n >> c;
    
    for(int i = 1;i <= n ;i ++)
        cin >> w[i] >> v[i];
    
    for(int i = 1;i <= n ;i ++)
    {
        for(int j = c;j >= w[i]; j --)
        {//应该是从后往前遍历，才可利用上一状态的数据
            dp[j]=max(dp[j],dp[j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    
    cout << dp[c] <<  endl;
    
    return 0;
}