零一背包问题（java）

问题：

给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。(每个物品只能选择一次)。

推导

零一背包问题是一个经典的动态规划问题，常见于算法和计算机科学的课程中。在零一背包问题中，给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值，以及一个固定的背包容量，我们需要确定如何选择装入背包，使得装入背包的物品总价值最大，且总重量不超过背包的容量。

以下是解决零一背包问题的一种常见方法，称为动态规划：

1. 定义状态： 定义一个二维数组 dp[i][j]，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个物品中，背包容量为 j 时所能达到的最大价值。

2. 状态转移方程： 对于每个物品 i，可以选择将其装入背包或不装入背包。如果选择装入物品 i，则当前背包容量为 j 时的最大价值为 dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中 w[i] 表示物品 i 的重量， v[i] 表示物品 i 的价值。如果不选择装入物品 i，则当前背包容量为 j 时的最大价值为 dp[i-1][j]。因此，状态转移方程为

                                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])

dp初始化：背包容量为0时，价值为0。 第零个物品，价值任然为零。第一个物品时，如果背包容量大于物品重量，价值就是第一个物品的价值，否则价值为0

代码实现：

package com.yang.day02;

import java.util.Scanner;

/**
 * 零一背包问题
 * 给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，
 * 才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。(每个物品只能选择一次)
 * @author yang
 *
 */
public class ZeroOneBackpack {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scan = new Scanner(System.in);
		// 输入 物品个数
		int n = scan.nextInt();
		// 输入最大背包容量
		int maxContainer = scan.nextInt();
		// 输入 每个物品重量 每个物品的价值
		int []weight = new int[n];
		int []values = new int[n];
		for(int i=0; i<n; i++) weight[i] = scan.nextInt();
		for(int i=0; i<n; i++) values[i] = scan.nextInt();
		// 动态 dp
		int [][]dp = new int[n+1][maxContainer+1];
		
		// 初始化dp
		for(int i=0; i<=n; i++) {
			for(int j=0; j<= maxContainer; j++) {
				if(j == 0 || i==0) dp[i][j] = 0; // 背包容量为0时，价值为0,第零个物品，价值任然为零
				if(i == 1) { //第一个物品时，如果背包容量大于物品重量，价值就是第一个物品的价值，否则价值为0
					if(weight[i]<j) dp[i][j] = 0;
					else dp[i][j] = values[i]; 
				}
			}
		}
		
		// 开始dp动态规划
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			for(int j=1; j<=maxContainer; j++) {
				if(j-weight[i-1]>=0) dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+values[i-1]);
				else dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
		}
		System.out.println("最大价值为："+dp[n][maxContainer]);
		
	}
}