信号频域分析的谱质心与子带带宽

在频域分析中，谱质心（Spectral Centroid） 和 子带带宽（Subband Bandwidth） 是信号频谱的重要特征参数，用于描述信号的频谱形态和频率分布。这两个参数常用于音频、语音处理和音乐信息检索等领域，用来识别和分类不同类型的音频信号或描述声音的特征。

1. 谱质心（Spectral Centroid）

1.1 定义

谱质心是指频谱的“重心”或“中心位置”，它描述了信号的频谱能量集中在哪个频率范围。具体来说，谱质心反映的是频谱的亮度，通常与信号的感知“音色”相关。对于人耳来说，较高的谱质心值通常意味着音频信号听起来较为“明亮”，而较低的谱质心则意味着声音听起来较为“低沉”。

数学上，谱质心的计算公式为：

其中：

• fk​ 是第 个频率分量的频率。
• ∣X(k)∣是第 k 个频率分量的幅值（通常为频谱的幅度或功率）。
• N是频谱中的频率分量个数。

谱质心通过权重的方式计算每个频率分量对频谱重心的贡献，频率越高、幅度越大，其对谱质心的贡献越大。

1.2 物理意义

谱质心可以直观地反映信号频率分布的“倾斜”情况。如果谱质心较高，表明频谱能量主要集中在高频部分；如果谱质心较低，表示频谱能量主要集中在低频部分。

• 高谱质心：频谱能量集中在高频，信号听起来较为尖锐、明亮。
• 低谱质心：频谱能量集中在低频，信号听起来较为低沉、厚重。

1.3 应用

• 音频和语音处理：谱质心用于分析和区分不同音频信号的音色。例如，音乐中的高音和低音谱质心差异较大，通过计算谱质心可以区分不同的乐器或声音类型。
• 音乐信息检索：在音乐分类、检索和推荐系统中，谱质心是常用的音频特征参数之一，能够帮助识别音乐类型和乐器音色。

1.4 代码示例

以下是一个使用 Python 库 librosa 计算音频信号的谱质心的简单示例：

import librosa
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载音频信号
audio_file = 'audio.wav'
signal, sr = librosa.load(audio_file)

# 计算频谱质心
spectral_centroids = librosa.feature.spectral_centroid(y=signal, sr=sr)[0]

# 计算时间轴
frames = range(len(spectral_centroids))
t = librosa.frames_to_time(frames, sr=sr)

# 绘制音频信号和谱质心
plt.figure(figsize=(10, 6))
librosa.display.waveshow(signal, sr=sr, alpha=0.4)
plt.plot(t, spectral_centroids, color='r', label='Spectral Centroid')
plt.title('Spectral Centroid')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Hz')
plt.legend()
plt.show()

2. 子带带宽（Subband Bandwidth）

2.1 定义

子带带宽描述的是信号在特定频率子带内的频率分布宽度，表示该频带内频谱的“散布”程度。它可以看作是频率子带中的能量分布范围，常用于描述频谱的扩展性。子带带宽较大表示信号的频谱分布较广，频率成分较多，反之，子带带宽较小表示频率成分集中在一个较窄的范围内。

通常，带宽可以通过频谱的标准差来衡量。子带带宽的计算公式为：

其中：

• fk​ 是第 k 个频率分量的频率。
• ∣X(k)∣ 是第 k个频率分量的幅度。
• Cspectral​ 是该子带的频谱质心。
• N是频率分量的总数。

该公式类似于加权的标准差公式，其中频率分量的幅度 ∣X(k)∣|X(k)|∣X(k)∣ 作为权重。

2.2 物理意义

子带带宽反映了频谱在某个频率范围内的扩展性或集中特性。不同的带宽可以描述信号的不同特性：

• 宽带宽：表明信号在该子带中含有较多的频率成分，频谱分布较为分散。这样的信号通常具有丰富的频率内容。
• 窄带宽：表示信号在该子带内的频率成分较为集中，频谱较为集中，表明该信号在该频带内的频率变化较小。

2.3 应用

• 音频信号处理：子带带宽可以用于区分音频信号的不同频率特性。带宽较宽的音频信号可能包含丰富的频率信息，适用于识别某些乐器的音色特征。
• 振动分析：在机械故障诊断中，子带带宽用于分析振动信号的频率分布，识别可能的故障特征。

2.4 代码示例

下面是一个计算频带内子带带宽的代码示例：

import librosa
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载音频信号
audio_file = 'audio.wav'
signal, sr = librosa.load(audio_file)

# 计算谱带宽
spectral_bandwidth = librosa.feature.spectral_bandwidth(y=signal, sr=sr)[0]

# 计算时间轴
frames = range(len(spectral_bandwidth))
t = librosa.frames_to_time(frames, sr=sr)

# 绘制音频信号和谱带宽
plt.figure(figsize=(10, 6))
librosa.display.waveshow(signal, sr=sr, alpha=0.4)
plt.plot(t, spectral_bandwidth, color='g', label='Spectral Bandwidth')
plt.title('Spectral Bandwidth')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Hz')
plt.legend()
plt.show()

3. 谱质心和子带带宽的关系

• 谱质心描述了频谱的中心位置，反映了信号的频率分布“重心”。
• 子带带宽则描述了信号在某一频率范围内的频率扩展情况，表明信号在该频率范围内的频谱分布宽度。

它们共同描述了信号在频域的整体频率分布特征。频率高的信号往往具有较高的谱质心，且如果频率分量分散得较广，带宽也较宽。

4. 总结

• 谱质心是频域特征，表示信号频谱的重心或中心频率，常用于表示音频信号的“亮度”。
• 子带带宽则表示频谱能量在特定频率子带内的扩展性或集中性，用于描述频带的频谱分布情况。

这两个特征在音频、语音处理以及其他信号分析中是非常重要的频谱特征参数，有助于区分不同的信号类型或分析信号的频率分布特性。