CINTA作业九：QR

十一章课后作业：1、2、3、4、5、6

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1. 证明命题11.2

(1)封闭性：∀ a , b ∈, 有 a⋅b = QR ∈ 

(2)结合律：∀ a , b，c ∈

 所以 (a⋅b)⋅ca⋅(b⋅c)

(3)单位元：1

(4)逆元：∀a∈QRp，存在x∈Z，使得a ≡  (mod p)，又由a *  ≡ ≡ 1(mod p)，所以 ≡ (mod p)

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2、使用群论的方法证明定理11.1

设到的映射：∀a∈, a→，其中a,b∈

有（a⋅b）===(a)∘(b),所以是群同态

的单位元为1，Ker=1,p-1=K,是的正规子群

有→/K

所以|| = | /K| =(p-1)/2

所以定理得证

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3、定义映射：→{±1}为（a)=(),∀a∈。请证明这是一个满同态。

对 ∀ a , b ∈，(ab)=(ab/p)=(a/p)(b/p)=(a)(b) 是同态

由勒让德符号的定义可得当a为QR时，ψ(a) = 1，当a为QNR时ψ(a) = -1，故ψ是满射，综上可证ψ是一种满同态

 

 

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4、设 p 是奇素数，请证明 Zp* 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余

 假设a是的生成元，假设a是QR，存在a(mod p)

有 1(mod p)

整理为1(mod p)

有（p-1)/2<p-1,与假设矛盾

所以a是QNR

 

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5、证明命题11.4。

 1.因为a, b ∈ Z 且不被 p 整除，当a为QR或QNR时，因为a ≡ b(mod p)，所以b一定为QR或QNR，则由勒让德符号的定义易得(a/p) = (b/p) 

2.当a为QR或QNR时，由1.的结论可得(a/p) = (b/p) = ±1，又由命题11.3得结论1可得(a/p) * (b/p) = ±1= (ab/p)；当a，b其中一个为QR，一个为QNR时，(a/p) * (b/p) = -1 = (ab/p)

​ 3.当a为QR或QNR时，a2一定为QR，所以(a2/p) = 1
 

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6、给出推论11.1的完整证明

(1)p≡1 (mod 4)， ∃ k ∈ Z , p = 4 k + 1 ( mod p )

由欧拉准则： 

(2)p≡-1 (mod 4)， ∃ k ∈ Z , p = 4 k + 3 ( mod p )