不同路径

题目分析

题目要求在一个 m × n 的网格中，从 左上角 走到 右下角，只能 向右 或 向下 走，计算 不同的路径数。

解法：动态规划

1. 定义状态

设 f[i][j] 为 到达网格 (i, j) 的不同路径数。

2. 状态转移方程

一个点 (i, j) 只能来自：

• 上方 (i-1, j)，即 f[i-1][j]

• 左方 (i, j-1)，即 f[i][j-1]

因此，状态转移方程：

3. 初始状态

• 第一行 只能从左侧走过来，因此 f[0][j] = 1。

• 第一列 只能从上方走过来，因此 f[i][0] = 1。

示例 1

输入

m = 3, n = 3

网格表示：

(S) → → 
↓   ?  ?
↓   ?  (E)

(S) 是起点，(E) 是终点。

初始化 DP 数组

开始时 f 表：

1  1  1  
1  0  0  
1  0  0  

第一行 全部填 1（只能从左侧走来），第一列 全部填 1（只能从上方走来）。

详细计算过程

Step 1: 计算 f[1][1]

f[1][1] = f[0][1] + f[1][0] = 1 + 1 = 2

更新 f 表：

1  1  1  
1  2  0  
1  0  0  

Step 2: 计算 f[1][2]

f[1][2] = f[0][2] + f[1][1] = 1 + 2 = 3

更新 f 表：

1  1  1  
1  2  3  
1  0  0  

Step 3: 计算 f[2][1]

f[2][1] = f[1][1] + f[2][0] = 2 + 1 = 3

更新 f 表：

1  1  1  
1  2  3  
1  3  0  

Step 4: 计算 f[2][2]

f[2][2] = f[1][2] + f[2][1] = 3 + 3 = 6

更新 f 表：

1  1  1  
1  2  3  
1  3  6  

最终结果

f[m-1][n-1] = f[2][2] = 6

路径数 6 是如何来的？

6 种可能路径：

1. 右 → 右 → 下 → 下

2. 右 → 下 → 右 → 下

3. 右 → 下 → 下 → 右

4. 下 → 右 → 右 → 下

5. 下 → 右 → 下 → 右

6. 下 → 下 → 右 → 右

代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n));
        
        // 初始化第一行
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            f[i][0] = 1;
        }
        
        // 初始化第一列
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            f[0][j] = 1;
        }
        
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        
        return f[m - 1][n - 1];
    }
};

时间 & 空间复杂度

• 时间复杂度：O(m × n)（遍历整个 f 数组）

• 空间复杂度：

• O(m × n)（使用 f 数组）

• 可以优化为 O(n)（仅使用一维数组）

优化方案：使用 O(n) 空间

只用一维数组 dp[j] 代替 f[i][j]：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> dp(n, 1); // 仅存一行

        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[j] += dp[j - 1]; // 状态转移
            }
        }

        return dp[n - 1];
    }
};

空间优化后的思路

1. 只用 dp[j] 记录 上一行的状态，每次更新当前行。

2. dp[j] = dp[j] + dp[j-1] 表示 来自上方和左方的路径之和。

时间复杂度：O(m × n)

空间复杂度：O(n)（只存一行）

总结

1. 动态规划解法

• 定义 f[i][j] 为 到 (i,j) 的路径数

• 递推关系：f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]

• 初始化：第一行 & 第一列全部设为 1

2. 两种代码实现

• 二维数组 f[m][n]（O(m × n) 空间）

• 一维数组 dp[n]（O(n) 空间）

3. 示例推导

• 计算 f 表，得 f[m-1][n-1] 作为答案

• 6 种不同路径（枚举）