柱状图中最大的矩形

面积最大矩形的高度一定是 heights 中的元素。这可以用反证法证明：假如高度不在 heights 中，比如 4，那我们可以增加高度直到触及某根柱子的顶部，比如增加到 5，由于矩形底边长不变，高度增加，我们得到了面积更大的矩形，矛盾，所以面积最大矩形的高度一定是 heights 中的元素。

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class Solution {
public:
    int largestRectangleArea(vector<int> &heights) {
        int n = heights.size();

        // 1️⃣ 记录每根柱子左边第一个比它小的柱子索引，初始化为 -1（表示左边无更小柱子）
        vector<int> left(n, -1);
        stack<int> st; // 用单调递增栈来找左边第一个更小元素
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 当前柱子高度 <= 栈顶柱子高度，就一直弹出（因为我们要找的是第一个比它小的）
            while (!st.empty() && heights[i] <= heights[st.top()]) {
                st.pop();
            }
            // 如果栈不为空，说明当前栈顶是左边第一个比它小的柱子
            if (!st.empty()) {
                left[i] = st.top();
            }
            // 当前柱子的索引入栈
            st.push(i);
        }

        // 2️⃣ 记录每根柱子右边第一个比它小的柱子索引，初始化为 n（表示右边无更小柱子）
        vector<int> right(n, n);
        st = stack<int>(); // 清空栈，重新使用
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            // 当前柱子高度 <= 栈顶柱子高度，就一直弹出
            while (!st.empty() && heights[i] <= heights[st.top()]) {
                st.pop();
            }
            // 如果栈不为空，说明当前栈顶是右边第一个比它小的柱子
            if (!st.empty()) {
                right[i] = st.top();
            }
            // 当前柱子的索引入栈
            st.push(i);
        }

        // 3️⃣ 遍历每根柱子，计算最大矩形面积
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int width = right[i] - left[i] - 1; // 可以扩展的宽度
            int area = heights[i] * width;      // 面积 = 高 × 宽
            ans = max(ans, area);               // 更新最大面积
        }

        return ans; // 返回最大面积
    }
};

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🔁 快速回顾单调栈逻辑

• 我们利用 单调递增栈 来维护柱子的索引，使得栈内元素对应的高度是递增的。

• 一旦遇到比栈顶小的高度，就可以弹出栈顶，说明当前柱子就是栈顶柱子的右边第一个小值。

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🧠 可以这么记：

每根柱子能扩展的最大宽度 = 它左边第一个比它小的柱子到右边第一个比它小的柱子之间的距离（不含两端），乘上当前柱子的高度就是该柱子能围成的最大矩形。

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好的！我们现在通过一个具体例子来详细运行一次：

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🎯 题目：柱状图中最大的矩形面积

输入：

heights = [2, 1, 5, 6, 2, 3]

我们将用这个数组来一步步执行你提供的 largestRectangleArea 函数，理解每一步的计算过程。

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✅ 第一步：求每个柱子左边第一个小于它的柱子（left[]）

初始化：

left = [-1, -1, -1, -1, -1, -1]
stack = empty

遍历 heights：

i = 0, height = 2

• 栈空，left[0] = -1

• 入栈：[0]

i = 1, height = 1

• 栈顶是 0，height[0] = 2 > 1 → 弹出

• 栈空，left[1] = -1

• 入栈：[1]

i = 2, height = 5

• 栈顶是 1，height[1] = 1 < 5 → left[2] = 1

• 入栈：[1, 2]

i = 3, height = 6

• 栈顶是 2，height[2] = 5 < 6 → left[3] = 2

• 入栈：[1, 2, 3]

i = 4, height = 2

• 栈顶是 3，height[3] = 6 > 2 → 弹出

• 栈顶是 2，height[2] = 5 > 2 → 弹出

• 栈顶是 1，height[1] = 1 < 2 → left[4] = 1

• 入栈：[1, 4]

i = 5, height = 3

• 栈顶是 4，height[4] = 2 < 3 → left[5] = 4

• 入栈：[1, 4, 5]

最终：

left = [-1, -1, 1, 2, 1, 4]

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✅ 第二步：求每个柱子右边第一个小于它的柱子（right[]）

初始化：

right = [6, 6, 6, 6, 6, 6]
stack = empty

遍历 heights 从右到左：

i = 5, height = 3

• 栈空 → right[5] = 6

• 入栈：[5]

i = 4, height = 2

• 栈顶是 5，height[5] = 3 > 2 → 弹出

• 栈空 → right[4] = 6

• 入栈：[4]

i = 3, height = 6

• 栈顶是 4，height[4] = 2 < 6 → right[3] = 4

• 入栈：[4, 3]

i = 2, height = 5

• 栈顶是 3，height[3] = 6 > 5 → 弹出

• 栈顶是 4，height[4] = 2 < 5 → right[2] = 4

• 入栈：[4, 2]

i = 1, height = 1

• 栈顶是 2，height[2] = 5 > 1 → 弹出

• 栈顶是 4，height[4] = 2 > 1 → 弹出

• 栈空 → right[1] = 6

• 入栈：[1]

i = 0, height = 2

• 栈顶是 1，height[1] = 1 < 2 → right[0] = 1

• 入栈：[1, 0]

最终：

right = [1, 6, 4, 4, 6, 6]

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✅ 第三步：计算每根柱子能构成的最大矩形面积

area[i] = heights[i] * (right[i] - left[i] - 1)

分别计算：

i	heights[i]	left[i]	right[i]	宽度 = right - left - 1	面积
0	2	-1	1	1	2 × 1 = 2
1	1	-1	6	6	1 × 6 = 6
2	5	1	4	2	5 × 2 = 10
3	6	2	4	1	6 × 1 = 6
4	2	1	6	4	2 × 4 = 8
5	3	4	6	1	3 × 1 = 3

最大面积：max = 10

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✅ 最终结果

return 10;

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🔚 总结

• left[i] 是左边第一个小于 heights[i] 的柱子索引；

• right[i] 是右边第一个小于 heights[i] 的柱子索引；

• (right[i] - left[i] - 1) 是以当前柱子为高，能扩展的最大宽度；

• 逐个计算出面积，取最大值返回。

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如果你想，我可以帮你画出这个例子的柱状图 + 每根柱子的扩展区域，更直观看懂。需要吗？