第十周（11）学习总结。(二分)

每周学习总结： 第十周（11）。
本周学习：二分查找算法；

概念：
在一个 有序序列 中，定义一个起始位置start(序列第一个元素)和一个终止位置end(序列最后一个元素),通过mid=(start+end)/2计算出中间位置，通过待查找元素与mid中间位置的元素进行比较，如果待查找元素比中间位置mid对应的值小，那么将end = mid -1(即将end结束位置移动到mid中间左边一个位置),如果比中间对应的值大，那么将start = mid + 1 (即将start的位置移动到mid右边一个位置)，
一直循环查找，直到start > end,证明没找到对应的元素，停止循环。
时间复杂度：
O（logN）。
基本代码：

//x：待查找的值，Caculate()：所要查找的函数,在这里单调递增
     //需保证查找的值在区间范围内

double end,start,mid;
while(end - start > 1.0e-6)
{
	 mid = (start+ end)/2;
    if(Caculate(mid)<x)
        start=mid;
    else
        end=mid;
}

使用条件：
至少满足：（有序序列）（需要查找某个或某多个值）。
拓展说明：
1、
若是right = mid - 1， 则前面mid 语句要加1(left=mid + 1)（记住与r平衡就行）
原因：
本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right]，因为 mid 已经搜索过。
2、
其实二分并不一定局限在有序区间内，只要区间具有二段性就可以二分，即区间具有某个性质可以将区间分为两段，使得每次搜索时都能将区间缩小而且保证答案仍在区间内
二段性：两端分开的数列，整体是单调的。
算法缺陷：
有序数组 nums = [1,6，6，6,3]，target = 6，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
处理方法:
（两种不同的二分查找法。）
寻找左侧边界的二分搜索

double left_bound(nums, target)
{
    if (nums.length === 0) 
    return -1;
    double left = 0;
    double right = nums.length-1; // 注意

    while (left <= right) { // 注意
        double mid = ((left + right) / 2);
        if (nums[mid] === target) {
     // 找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，
   //在区间 [left, mid-1] 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
            right = mid-1;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid-1; // 注意
        }
    }
    return left;
};
// 算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
double left_bound([1,2,2,2,3,4],2);
// 算法会返回 4。这个 4 的含义可以这样解读：nums 中小于 3 的元素有 4 个。
 double left_bound([1,2,2,2,3,3,3,3,4],3);

寻找右侧边界的二分搜索

double right_bound(nums, target)
{
    if(nums.length<=0) return -1;
    double left=0,right=nums.length-1;
    while(left<=right){
        double mid = ((left + right) / 2);
        if (nums[mid] === target) 
        {
   // 找到 target 时不要立即返回，而是增大「搜索区间」的上界left，
 //在区间 [mid+1,right] 中继续搜索，即不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
            left = mid+1;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid-1; // 注意
        }
    }
    // 其实return left-1还是right没有区别
    return right;
};
// 算法会返回 5。这个 3 的含义就是右侧边界索引是5。
double  right_bound([1,2,2,2,3,3,4],3);
// 算法会返回 7。这个 7 的含义就是右侧边界索引是7。
 double   right_bound([1,2,2,2,3,3,3,3,4],3);

感想以及注意事项：
1 、多多检查区间，while循环，检查看看有没有漏掉的元素，及时修改。
2、如需要搜所左右边界，只要在num[mid]==target 时做修改。
（搜索右侧是要减去1）。
3、用下标代替数组数本身，相对更简单一点。更好理解。

下周目标:
1、每天 1~2 题 ， 周末 2 ~3 题。
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