马尔科夫链与隐马尔可夫模型的区别

1. 马尔科夫链的状态转移概率计算

• 对于马尔科夫链，状态是完全可见的，所以我们可以直接计算转移概率 $a_{ij}$（从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率）。
• 公式 $a_{ij}=\frac{C(i\to j)}{{\sum }_{q\in Q}C(i\to q)}$ 的含义：
  • $C(i\to j)$：表示从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的次数。
  • ${\sum }_{q\in Q}C(i\to q)$：表示从状态 $i$ 转移到所有其他状态的总次数。
  • 归一化过程：通过将所有转移次数归一化，计算从 $i$ 到 $j$ 的相对概率。

简单来说，对于马尔科夫链，只要统计所有状态转移的频率，就能直接计算状态转移概率。

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2. 隐马尔可夫模型的复杂性

• 不同点：隐马尔可夫模型中的“状态”是隐藏的，我们无法直接观测到它，而只能通过观测到的“数据”（比如句子、单词等）间接推测隐藏状态。
• 因为状态是隐藏的，我们无法简单地通过计数来得到转移概率 $a_{ij}$，需要通过复杂的数学方法（比如 Baum-Welch 算法）来迭代估计。

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3. Baum-Welch 算法的两种思路

Baum-Welch 算法是用来估计 HMM 参数（状态转移概率 $A$ 和发射概率 $B$）的常用算法。这里提到的两种思路是：

1. 第一种思路：从一个初始的转移概率和观测概率出发，不断迭代调整参数，使模型更好地解释观测数据。
2. 第二种思路：对于每一个观测数据，计算从不同路径（状态序列）产生该数据的可能性，再用这些可能性对参数进行加权更新。

关键点：隐马尔可夫模型的参数估计需要考虑“所有可能路径的贡献”，而不像马尔科夫链那样直接计算某条路径的次数。

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举个例子

马尔科夫链：
假设我们统计了一周内天气的变化：

• 星期一是晴天，星期二是雨天，星期三又是晴天。
• 转移次数统计：
  • 晴天 → 雨天：1 次。
  • 晴天 → 晴天：1 次。
  • 雨天 → 晴天：1 次。
• 根据公式计算 $a_{ij}$：
  • $a_{\text{晴天}\to \text{雨天}}=\frac{1}{2}=0.5$，表示晴天有 50% 的概率转为雨天。

隐马尔可夫模型：
假设我们观测到一个学生每天的学习行为（比如去图书馆、在家学习），但不知道隐藏的“状态”（比如复习日或考试日）。

• 我们需要计算：对于每种可能的隐藏状态组合，哪种更可能解释这些学习行为？这就需要通过 Baum-Welch 算法迭代优化参数。

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结论

• 马尔科夫链可以直接统计状态转移的频次。
• 隐马尔可夫模型需要通过复杂的数学方法（如 Baum-Welch 算法）来迭代估计参数，因为隐藏状态不可见。