能量信号公式和能量密度谱

---

1. 能量公式 $E_x={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x(n){|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|X(\omega ){|}^{2}d\omega$

条件

1. 信号为离散时间且非周期信号：

   • $x(n)$ 是一个 离散时间非周期信号。
   • 例如：一个有限长度的脉冲信号或指数衰减信号。

2. 能量有限：

   • 信号的能量必须是有限的，即满足以下条件：
     $$E_x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n){|}^2<\infty$$
   • 这是定义能量信号的基本条件。如果信号的能量是无穷的（例如周期信号），该公式不成立。

3. 傅里叶变换的适用性：

   • 信号 $x(n)$ 必须存在 离散时间傅里叶变换（DTFT）：
     $$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$
   • $X(\omega )$ 是信号的频率域表示。

解释

• 公式描述了 Parseval 定理 在离散时间非周期信号中的形式：
  • 左边是信号在时域的总能量。
  • 右边是信号在频率域的总能量，$|X(\omega ){|}^2$ 被称为信号的 能量密度谱。

---

2. $S_{xx}(\omega )=X(\omega )X^{\ast }(\omega )$ 成立的条件

条件

1. 定义：

   • $S_{xx}(\omega )$ 是 能量密度谱（Energy Density Spectrum），用于描述信号在频率域上的能量分布。
   • 定义为：
     $$S_{xx}(\omega )=|X(\omega ){|}^2=X(\omega )X^{\ast }(\omega )$$
     • $X^{\ast }(\omega )$ 是 $X(\omega )$ 的复共轭。

2. 信号要求：

   • $x(n)$ 必须是 离散时间非周期信号，并且满足能量有限的条件。

3. 频率域表示的完整性：

   • $X(\omega )$ 是通过 $x(n)$ 的傅里叶变换得到的完整频率域表示。
   • 因此，信号不能丢失任何频率分量。

---

3. 非周期信号 vs. 周期信号的区别

1. 非周期信号：

   • 对非周期信号，适用 能量密度谱 和 Parseval 定理：
     $$E_x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n){|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|X(\omega ){|}^{2}d\omega$$
   • 能量密度谱为：
     $$S_{xx}(\omega )=|X(\omega ){|}^2$$

2. 周期信号：

   • 对于周期信号，需要使用 功率密度谱（PDS）：
     $$P_x=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}|x(n){|}^2=\sum _{k=0}^{N-1}|c_k{|}^2$$
   • 功率密度谱不适用 $S_{xx}(\omega )$ 的公式。

---

4. 示例：指数衰减信号

假设：
$$x(n)=a^n,n\ge 0,|a|<1$$

1. 傅里叶变换：
   $$X(\omega )=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n{e}^{-j\omega n}=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

2. 能量密度谱：
   $$S_{xx}(\omega )=|X(\omega ){|}^2={\left|\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}\right|}^2=\frac{1}{1-2a\cos (\omega )+a^2}$$

3. 信号总能量：

   • 时域能量：
     $$E_x=\sum _{n=0}^{\infty }|a^n{|}^2=\frac{1}{1-a^2}$$
   • 频域能量：
     $$E_x=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{1-2a\cos (\omega )+a^2}d\omega$$

---

总结

1. $E_x=\sum |x(n){|}^2=\frac{1}{2\pi }\int |X(\omega ){|}^{2}d\omega$ 适用于 离散时间非周期信号 且 信号能量有限 的情况。
2. $S_{xx}(\omega )=X(\omega )X^{\ast }(\omega )$ 用于描述 信号频率分量的能量密度，适用于 非周期离散信号。