滤波器设计中提到的需要的采样点数量(滤波器长度)和频率 bin(频率分辨率)是相关但不同的概念。
1. 滤波器长度(采样点数量)
滤波器的长度 LLL 通常指时域冲激响应的长度,即滤波器包含的采样点数量。
(1)与频域的关系
根据傅里叶变换的性质,冲激响应的长度和频域分辨率是互补的:
- 冲激响应越长,频域响应的分辨率越高,过渡带可以更窄。
- 冲激响应越短,频域响应的分辨率越低,过渡带会更宽。
公式表示为:
Δf≈fsL
\Delta f \approx \frac{f_s}{L}
Δf≈Lfs
- Δf\Delta fΔf:频率分辨率(频域每个 bin 的宽度)。
- fsf_sfs:采样率。
- LLL:滤波器长度。
如果需要一个非常窄的过渡带(比如 1–1.05 kHz),频率分辨率 Δf\Delta fΔf 必须足够高,滤波器长度 LLL 就需要很大。
2. 频率 bin(频率分辨率)
频率 bin 是指在频域中每个频率点之间的间隔,通常用于描述离散傅里叶变换(DFT)或快速傅里叶变换(FFT)分析的频域分辨率。
(1)与采样点数量的关系
频率 bin 的分辨率由时域信号的长度 NNN 和采样率 fsf_sfs 决定:
Δf=fsN
\Delta f = \frac{f_s}{N}
Δf=Nfs
- NNN:时域信号的采样点数量(或 FFT 的点数)。
- Δf\Delta fΔf:频率分辨率(每个 bin 的频率间隔)。
例如:
- 采样率 fs=10f_s = 10fs=10 kHz,时域信号长度 N=1000N = 1000N=1000:
Δf=10 kHz1000=10 Hz \Delta f = \frac{10\ \text{kHz}}{1000} = 10\ \text{Hz} Δf=100010 kHz=10 Hz
每个频率 bin 间隔为 10 Hz。
3. 采样点数量 vs. 频率 bin 的关系
两者的关系可以总结为:
-
滤波器设计中的采样点数量:
- 决定滤波器在时域的长度(冲激响应的长度),同时影响频域中过渡带的宽度。
- 公式:
L≈kΔf L \approx \frac{k}{\Delta f} L≈Δfk- LLL:滤波器长度。
- Δf\Delta fΔf:过渡带宽度。
-
FFT 分析中的采样点数量:
- 决定频率分辨率(bin 的宽度),影响频域的频率表示精度。
- 公式:
Δf=fsN \Delta f = \frac{f_s}{N} Δf=Nfs- NNN:FFT 的点数。
区别:
- 滤波器设计的采样点数量:
- 主要用于设计低通、带通等滤波器,强调冲激响应的长度。
- FFT 分析的采样点数量:
- 主要用于频谱分析,强调频率分辨率。
关联:
滤波器设计中,频域过渡带的宽度与时域冲激响应的长度相关,这与 FFT 分析中的频率分辨率公式类似。两者都体现了时域长度和频域分辨率的互补关系。
4. 在滤波器设计中的应用示例
宽过渡带(1–1.5 kHz):
- 假设采样率为 fs=10f_s = 10fs=10 kHz,过渡带宽度为 500 Hz:
Δf=50010 kHz=0.05 \Delta f = \frac{500}{10\ \text{kHz}} = 0.05 Δf=10 kHz500=0.05 - 计算滤波器长度(使用窗函数设计,k=4k = 4k=4):
L=kΔf=40.05=80 L = \frac{k}{\Delta f} = \frac{4}{0.05} = 80 L=Δfk=0.054=80 - 滤波器只需要 80 个采样点。
窄过渡带(1–1.05 kHz):
- 假设采样率为 fs=10f_s = 10fs=10 kHz,过渡带宽度为 50 Hz:
Δf=5010 kHz=0.005 \Delta f = \frac{50}{10\ \text{kHz}} = 0.005 Δf=10 kHz50=0.005 - 计算滤波器长度:
L=kΔf=40.005=800 L = \frac{k}{\Delta f} = \frac{4}{0.005} = 800 L=Δfk=0.0054=800 - 滤波器需要 800 个采样点。
频率 bin 的比较:
- 宽过渡带:80 点对应频率分辨率为 Δf=fsL=10 kHz80=125 Hz\Delta f = \frac{f_s}{L} = \frac{10\ \text{kHz}}{80} = 125\ \text{Hz}Δf=Lfs=8010 kHz=125 Hz。
- 窄过渡带:800 点对应频率分辨率为 Δf=fsL=10 kHz800=12.5 Hz\Delta f = \frac{f_s}{L} = \frac{10\ \text{kHz}}{800} = 12.5\ \text{Hz}Δf=Lfs=80010 kHz=12.5 Hz。
总结
- 滤波器设计中的采样点数量(滤波器长度)和频率 bin虽然表达的内容不同,但都体现了时域和频域之间的关系。
- 滤波器采样点数量:决定频域过渡带的宽度。
- 频率 bin:描述频域的分辨率,两者受时域长度影响。
- 宽过渡带对应短滤波器(频率分辨率较低),窄过渡带对应长滤波器(频率分辨率较高)。
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