《Database System Concepts（数据库系统概念）》第六版——第八次作业（第八章）

8.4

$$\begin{gathered} 若\alpha \to \beta ,\alpha \to \gamma \\ 则\alpha \to \alpha \beta (增广律：\alpha \alpha \to \alpha \beta ),\alpha \beta \to \gamma \beta (增广律) \\ 则\alpha \to \gamma \beta (传递律) \end{gathered}$$

8.5

$$\begin{gathered} 若\alpha \to \beta ,\gamma \beta \to \delta \\ 则\gamma \alpha \to \gamma \beta (增广律) \\ 则\gamma \alpha \to \delta (传递律) \end{gathered}$$

8.6

$$\begin{gathered} A\to BC,B\to D,故A\to BCD \\ CD\to E,故A\to ABCDE \\ E\to A,故E\to ABCDE \\ CD\to E,故CD\to ABCDE \\ CD\to E,B\to D,故BC\to E,BC\to ABCDE \end{gathered}$$

$F^{+}$为

$$\begin{gathered} A\to ABCDE,B\to BD,C\to C,D\to D,E\to ABCDE, \\ BC\to ABCDE,CD\to ABCDE,BD\to BD, \\ X\to ABCDE(X为剩余元素集) \end{gathered}$$

候选码为$A,E,BC,CD$

8.7

对于给出的F：任何函数依赖都不含无关属性，左半部唯一

故F即是Fc

8.8

• 设|F|=n,元素个数为m

  由图8-8算法的叙述可知其复杂性为O($n^2$)

  图8-18的算法第一次循环了n次，第二次循环循环了nm次，addin(a)的循坏只对a进行操作，循坏次数为a的属性个数乘以n，不超过nm次，故此算法复杂性为O(nm)

  最坏情况下，$n=2^m\ast 2^m=4^m$,

  故O(nm)的算法比O($n^2$)高效

• 在第一步中，$A\subseteq \alpha ,\alpha \to A$，A显然是result中的元素

  假设第k步正确，$\beta \to \gamma ,\beta \subseteq result,\gamma \subseteq result$

  在第k+1步中，$A\subseteq \gamma ,\gamma \to A$，A显然是result中的元素

  故算法得到的result中均是$a^{+}$的元素

  而如果存在$a^{+}$的属性不属于result

  则必定存在$\beta \to \gamma ,\beta \subseteq result$且$\gamma$至少有一个属性不在result中（设为A）

  当算法结束时，A已添加到result当中

  综上，该算法正确性得证

8.11

• a

  $约束为：\alpha 是r_1的主码，\alpha 是r_2参考r_1的外码$

• b

  $eg:对于某个r(1,2,3),分解后r_1(1,2),r_2(1,3),若不添加外码约束则r_2可更新为(4,3)，而r_1不变$

• c

  $对于每个R_i,\alpha \to \beta ,\alpha 是主码；因为3NF分解的函数依赖集是F_c,故R_i主码均不同，对于R_j的某个属性集\alpha 若是R_i的主码，则需作为R_j参考R_i的外码$

8.13

$对于B\to D,令result=B$

$对于R_1,t=(result\cap R_1{)}^{+}\cap R_1=B^{+}\cap R_1=B$

$result=result\cup t=B$

$循环后result还是B无变化，且不含D，故不是保持依赖$

8.28

考虑R的两个实例(1,2,3,4,5),(6,7,3,8,9),分解后变为(1,2,3)(3,4,5)和(6,7,3)(3,8,9)

自然连接后则会出现(1,2,3,4,5),(1,2,3,8,9)(6,7,3,8,9),(6,7,3,4,5)四个实例

故不是无损分解

8.29

• a

  B→D,D→A,B→AD,A→BCD,BC→DE,B→ABCDE

  $B^{+}$=ABCDE

• b

  A→BCD,A→BC,BC→DE,A→BCDE,A→A,A→ABCDE

  AF→ABCDE,AF→F,AF→ABCDEF

  故AF是超码

• c

  第一次循环，未发现可合并项；直接快进至寻找无关属性

  A→BCD,B→D可知D为A→BCD的无关属性

  故F=A→BC,BC→DE,B→D,D→A

  第二次循环，未发现可合并项；直接快进至寻找无关属性

  BC→DE,B→D可知D为BC→DE的无关属性

  故F=A→BC,BC→E,B→D,D→A

  第三次循环，未发现可合并项；直接快进至寻找无关属性

  BC→E,B→ABCDE,可知C为BC→E的无关属性

  故F=A→BC,B→E,B→D,D→A

  第四次循环，发现可合并项：B→DE

  无无关属性

  故F=A→BC,B→DE,D→A

  第五次循环，未发现可合并项和无关属性

  故Fc=A→BC,B→DE,D→A

• d

  $R_1=(A,B,C),R_2=(B,D,E),R_3=(D,A)$

  候选码必含有F

  $R_i$中均不含候选码，故加入$R_4=(A,F)$

  模式间相互不包含

  故3NF分解为：$R_1=(A,B,C),R_2=(B,D,E),R_3=(D,A),R_4=(A,F)$

• e

  $B^{+}=ABCDE,A\to BCD,D\to A$

  $A^{+}=B^{+}=(BC{)}^{+}=D^{+}=ABCDE$

  候选码：AF,BF,DF

  result={R}

  违反BCNF的FD（左侧无码）：A→BCD

  从A→BCD开始分解，result=(A,B,C,D)∪(A,E,F)

  (A,E,F)中候选码：AF

  违反BCNF的FD（左侧无码）：A→E

  从A→BCD开始分解，result=(A,B,C,D)∪(A,E)∪(A,F)

  (A,B,C,D),(A,E),(A,F)均满足BCNF，故为r的BCNF分解

• f

  $Fc=A\to BC,B\to DE,D\to A$

  $A^{+}=B^{+}=D^{+}=ABCDE$

  候选码：AF,BF,DF

  result={R}

  违反BCNF的FD（左侧无码）：A→BC

  从A→BC开始分解：result=(A,B,C)∪(A,D,E,F)

  (A,D,E,F)中的候选码：AF,DF

  违反BCNF的FD（左侧无码）：A→DE

  从A→DE开始分解，result=(A,B,C)∪(A,D,E)∪(A,F)

  (A,B,C),(A,D,E),(A,F)均满足BCNF，故为Fc的BCNF分解，与e的分解不同

  综上，若直接运用算法，得到的BCNF分解与e的分解不同，但由Fc推出F的公式后再运用算法可得同样的分解