二叉树基本介绍

最新推荐文章于 2025-05-21 12:04:25 发布

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文章标签：算法

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1.基本概念

概念（需牢记）：

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该节点的度。（理解为有几个儿子）如上图A的度为6。

树的度：一颗树中，所有结点度的最大值称为树的度。如上图树的度为6。

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点。如上图BCHI为叶结点。

父节点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点。

子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点。

根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A。

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为 4

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： B 、 C 是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2.二叉树（重点）

2.1二叉树的概念

1.二叉树不存在度大于2的结点。

2.二叉树的子树有左右之分，且次序不可颠倒，二叉树是有序树。

3.二叉树有且仅有以下几种情况组成：空树、只有根节点、只有左子树、只有右子树、左右子树都存在

2.2两种特殊的二叉树

1.满二叉树：如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^{k}-1$ ，则它就是满二叉树。

2.完全二叉树： 对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质（重点，牢记）

1.若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}(i>0)$ 个结点。

2.若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树最大节点数是 $2^{k}-1(k>=0)$

3.对任何一颗二叉树，如果其叶结点个数为n0，度为2（有两个儿子）的非叶结点个数为n2，则有n0=n2+1。

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 $\log_{2} (n+1)$ 上取整。

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有

若i>0 ， 双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号 ，无双亲结点

若2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子

若2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，否则无右孩子

详见习题：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解析：n0=叶子结点，n2=度为2的结点。n0=n2+1，所以n0=199+1=200。选B

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

解析： 2n可以保证该树一定是偶数个结点，所以一定有一个单侧的边。故n1=1；总的结点个数2n=n0+n1+n2=n0+n2+1。又因为n0=n2+1，所以2n=n0+n0-1+1，所以n0=n。选A

3. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

解析： 767=n0+n1+n2=n0+n2=n0+n0-1，所以n0=768/2，选B

4. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

解析：深度为log2(531)，2的10次方是1024，9次方是512，向上取整，所以是10，选B

2.4二叉树存储

二叉树的存储结构 分为： 顺序存储 和 类似于链表的链式存储 。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}