【随机过程】C-K方程( Chapman- Kolmogorov方程)

哈哈迷哈

已于 2024-05-29 15:09:14 修改

阅读量4.4k

点赞数 36

文章标签：算法概率论金融笔记

于 2024-05-26 17:00:46 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_49657150/article/details/139051470

版权

随机过程

第四章 C-K方程( Chapman- Kolmogorov方程)

前言

在上一篇文章中，我们讨论了马尔可夫链的统计特性。经过进一步学习，我们发现了一系列新的问题，本文将其整理并列举其中关于C-K方程的思考（主要内容为张波张景肖等学者所著的《应用随机过程》中P47-49）。

一.C-K方程的定义及例子

1.C-K方程的定义及证明

下面是Chapman-Kolmogorov Equation的定义：

其中证明方法见课本P48页：

2.C-K方程的例子（赌徒破产问题）

解：这个概率为

$p_{20}^{(4)}=P\left \{X_{4}=0\mid X_{0}=2\right \}$

转移矩阵

$P=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ \frac{1}{2}&0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0&\frac{1}{2}&0 & \frac{1}{2} \\ 0&0 & 0 &1 \end{bmatrix}$

利用矩阵乘法得

$P^{\left ( 4 \right )}=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ \frac{5}{8}&\frac{1}{16} & 0 & \frac{5}{16}\\ \frac{5}{16}&0&\frac{1}{16} & \frac{5}{8} \\ 0&0 & 0 &1 \end{bmatrix}$

所以经过四次赌博之后输光概率为：

$p_{20}^{(4)}=P\left \{X_{4}=0\mid X_{0}=2\right \}=\frac{5}{16}$

那么由上例题，我们可以假设一个案例：赌徒口袋里有 $r$ 元，赌徒与庄家的总资产是 $n$ 元，（ $n$ 、 $r$ 皆为正整数，通常庄家的财力 $n-r$ 元远大于赌徒口袋所拥有的 $r$ 元）。赌徒和庄家玩游戏，每次游戏结束，赌徒有 $p$ （可先假设为 $\frac{1}{2}$ ）的机会赢得 1 元， $1-p$ 的机会输掉 1 元，下图的圆圈（状态）内显示的数字即为赌徒口袋中的钱数。当 $n<\infty$ ，随着游戏持续进行，赌徒有可能面临破产（抵达状态 0）或赢得系统之总资产（抵达状态 $n$ ）的结局。不过若 $n\rightarrow \infty$ ， $p\leqslant \tfrac{1}{2}$ ，赌徒最终将避免不了会回到最左边的状态 0，亦即口袋空空的破产命运。

下面我们用R语言来演示一下这个例子（假设n为100000元，r为10元），我们假设一个赌徒和前述的赌场对决，透过绘制折线图，观察赌徒如何输光了口袋里10元的详细过程。

par(mfrow=c(1,1))
  POSITION <- 0 ; TIMES <- 0 ; x <- c() 
  repeat{POSITION <- POSITION + sample(c(-1,1),1) ; 
  	x <- rbind(x, POSITION); 
  	TIMES <- TIMES + 1; 
  	if(POSITION==-10 || POSITION==100000) {
  		print(TIMES) ; 
  		break}
  		}
plot(1:length(x),x,xlab="times",ylab="money",type="l")

通过运行R，我们得到绘制的折线图：