Brent‘s method

Brent's method 是一种结合了二分法、线性插值和逆二次插值的混合算法，用于寻找给定区间函数的零点。该方法优先使用逆二次插值，其次线性插值，以上两种方法均不能使用的情况下选择二分法，换句话来讲，二分法就是用来兜底的。下面依据三种方法的优先级依次进行介绍：

逆二次插值：假设给定三个点(a,f(a))，(b,f(b))，(c,f(c))，a,b,c互不相等，f(a)、f(b)、f(c)互不相等切不为零，则满足逆二次插值的条件，插值点m为：

线性插值：给定区间[a,b]，端点处函数值为f(a),f(b),插值点m为:

二分法：给定区间[a,b]，端点处函数值为f(a),f(b),中点m为:m=(a+b)/2;

Brent's method 原理

变量更新原则：b为迭代过程中最接近零点的一点，a为原本的b，c与b构成含有零点的区间。

1、初始化

a、输入函数f，给定区间[a0,b0]，需满足f(a0)f(b0)<0，即函数f在区间[a0,b0]内有零点；

b、需保证，即若，令;,令;

2、进行迭代

根据三种方法的优先级，首先采用逆二次插值进行迭代计算（需要注意的是，由于第一次迭代时a=c，所以不能使用逆二次插值）：检验三个变量是否符合逆二次插值的条件，若符合，采用上述公式计算插值点m，接着进行插值点m的有效性检验：

（1）、m位于当前区间内；（2）、步长不超过当前区间长度的3/4，即；（3）、分母的绝对值大于机器的精度。 

若以上三点均满足，则按照变量更新原则进行变量更新；若不符合或者以上任意一点不满足，则进行线性插值，采用上述线性插值公式计算插值点m，对m进行有效性检验：

（1）、位于区间内；（2）、插值步长不超过区间长度的一半，即；（3）、分母不为零；

若以上三点均满足，则按照变量更新原则进行变量更新；若以上任意一点不满足，则进行二分法，同样按照变量更新原则进行变量更新。

变量更新后进入终止条件检验是否终止；

3、终止条件

1）、区间半长小于容差，即；

2）、达到设定精度，

3）、达到最大迭代次数Nmax，。

若满足以上任意一点，则退出迭代，输出零点b；否则，进入2、进行迭代。

程序可直接使用MATLAB中的fzero函数，fzero (mathworks.cn)。

参考文献：

[1] Brent, R., Algorithms for Minimization Without Derivatives, Prentice-Hall, 1973.

声明：本人水平不足，能力有限，若有错误，欢迎批评指正，希望读者不吝赐教，万分感谢！