[vjudge UVA - 437] The Tower of Babylon (DAG上的DP)

[vjudge UVA - 437] The Tower of Babylon

---

题目链接

---

大致题意:

有 $n$ 种砖块，已知三条边长，每种都有无穷多个。要求选一些立方体摞成一根尽量高的柱子（每个 砖块可以自行选择一条边作为高），使得每个砖块的底面长宽分别严格小于它下方砖块的底面长宽，求塔的最大高度。

---

解题思路:

建立DAG

• 由于每个砖块的底面长宽分别严格小于它下方砖块的底面长宽，因此不难将这样一种关系作为建图的依据，而本题也就转化为最长路问题

• 也就是说如果砖块$ j $能放在砖块 $i$ 上，那么 $i$ 和 $j$ 之间存在一条边 $(i,j)$，且边权就是砖块 $j$ 所选取的高。

• 本题的另一个问题在于每个砖块的高有三种选法，怎样建图更合适呢？

• 不妨将每个砖块拆解为三种堆叠方式，即将一个砖块分解为三个砖块，每一个拆解得到的砖块都选取不同的高。

• 初始的起点是大地，大地的底面是无穷大的，则大地可达任意砖块，当然我们写程序时不必特意写上无穷大。

• 假设有两个砖块，三条边分别为 31, 41, 59 和 33, 83, 27，那么整张 DAG 应该如下图所示。

​

• 图中蓝实框所表示的是一个砖块拆解得到的一组砖块，之所以用 { } 表示底面边长，是因为砖块一旦选取了高，底面边长就是无序的。

• 图中黄虚框表示的是重复计算部分，为下文做铺垫。

转移

• 题目要求的是塔的最大高度，已经转化为最长路问题，其起点上文已指出是大地，那么终点呢？

• 显然终点已经自然确定，那就是某砖块上不能再搭别的砖块的时候。

• 之前在图上标记的黄虚框表明有重复计算，下面我们开始考虑转移方程。

• 显然，砖块一旦选取了高，那么这块砖块上最大能放的高度是确定的。

• 某个砖块 $i$ 有三种堆叠方式分别记为 0, 1, 2，那么对于砖块 $𝑖 $和其堆叠方式 𝑟 来说则有如下转移方程

  $f[i][k1]=max(f[i][k1],f[j][k2]+h)$ 其中 $j$ 是所有那些在砖块 $i$ 以 $k1$ 方式堆叠时可放上的砖块，$k2$ 对应 $j$ 此时的摆放方式，也就确定了此时唯一的高 度 $h$。

• 在实际编写时，将所有 $f[i][k1]$ 都初始化为 −1，表示未计算过。 在试图计算前，如果发现已经计算过，直接返回保存的值；否则就按步计算，并保存。 最终答案是所有 $f[i][k1]$ 的最大值。

---

AC代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long ll;
const int N = 100;
int n, m;
int x[N], y[N], z[N];
int f[N][3];

int dfs(int k, int type) {
	if (f[k][type] != -1)return f[k][type]; //记忆化
	f[k][type] = 0;
	int a, b;//边长
	//处理三种情况
	if (type == 0) {
		a = x[k], b = y[k];
	}
	else if (type == 1) {
		a = y[k], b = z[k];
	}
	else {
		a = x[k], b = z[k];
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (x[i] < a && y[i] < b || y[i] < a && x[i] < b)
			f[k][type] = max(f[k][type], dfs(i, 0) + z[i]);
		if (y[i] < a && z[i] < b || z[i] < a && y[i] < b)
			f[k][type] = max(f[k][type], dfs(i, 1) + x[i]);
		if (x[i] < a && z[i] < b || z[i] < a && x[i] < b)
			f[k][type] = max(f[k][type], dfs(i, 2) + y[i]);
	}
	return f[k][type];
}
int solve() {
	memset(f, -1, sizeof f);
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		res = max(res, dfs(i, 0) + z[i]); //x y为边长
		res = max(res, dfs(i, 1) + x[i]); //y z为边长
		res = max(res, dfs(i, 2) + y[i]); //x z为边长
	}
	return res;
}
int main(void)
{
	int ca = 0;
	while (cin >> n, n) {
		++ca;
		for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> x[i] >> y[i] >> z[i];
		int res = solve();
		printf("Case %d: maximum height = %d\n", ca, res);
	}
	return 0;
}