基本概念
- 概率：一个随机事件发生的可能性大小，为0到1之间的实数
- 随机变量：建立在随机事件上的变量，一个随机事件可以有多个随机变量
- 概率分布：一个随机变量 X X X取每种可能值的概率， 概率分布需要满足下列条件：
P ( X = x i ) = p ( x i ) , ∀ i ∈ { 1 , . . . , n } ∑ i = 1 n p ( x i ) = 1 , p ( x i ) ≥ 0 , ∀ ∈ { 1 , . . . , n } \begin{aligned} &P(X=x_i)=p(x_i),&\forall{i}\in\{1,...,n\}\\ &\sum_{i=1}^{n}p(x_i)=1,\\ &p(x_i)\geq0,&\forall\in\{1,...,n\} \end{aligned} P(X=xi)=p(xi),i=1∑np(xi)=1,p(xi)≥0,∀i∈{ 1,...,n}∀∈{ 1,...,n}
其中， P P P表示概率， p p p表示随机变量 x x x取具体值时的概率
通俗解释：所有随机变量发生的概率和为1，每种随机变量发生的概率总是大于等于0
随机变量
根据随机变量取值类型不同，可以分为两类：离散型随机变量和连续随机变量
离散型随机变量
典型的离散型随机变量分布有：
- 伯努利分布（Bernoulli Distribution）
- 二项分布（Binomial Distribution）
伯努利分布（Bernoulli Distribution）
再一次实验中（一次伯努利分布，即只会发生一次事件），假设事件A出现概率为 μ \mu μ，不出现的概率为 1 − μ 1-\mu 1−μ，用变量 X X X表示事件A出现的次数，则 X ∈ { 0 , 1 } X\in\{0, 1\} X∈{
0,1}，其相应分布为
p ( x = 1 ) = μ , p ( x = 0 ) = 1 − μ \begin{aligned} &p(x=1)=\mu,\\ &p(x=0)=1-\mu \end{aligned} p(x=1)=μ,p(x=0)=1−μ
也即
p ( x ) = μ x ( 1 − μ ) ( 1 − x ) p(x)=\mu^x(1-\mu)^{(1-x)} p(x)=μx(1−μ)(1−x)
二项分布（Binomial Distribution）
在n次伯努利分布中，若以变量 X X X表示事件A出现的次数，则 X ∈ { 0 , . . . , n } X\in\{0,...,n\} X∈{
0,...,n}，其相应分布为
P ( X = k ) = ( n k ) μ k ( 1 − μ ) n − k , k = 1 , . . . , n \begin{aligned} &P(X=k)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \mu^k(1-\mu)^{n-k}, &k=1,...,n \end{aligned} P(X=k)=(nk)μk(1−μ)n−k,k=1,...,n
其中， k k k表示事件A发生k次， ( n k ) \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} (nk)是组合数，表示从n个不同的元素中取出k个元素的所有组合的个数1（n次实验中有k次为事件A的有多少种组合），即 C n k = n ! k ! ( n − k ) ! C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} Cn<
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