知识点索引：初等变换

频次： 2
出处： 1995-5、2011-5

知识树位置

• 矩阵
  • 初等变换

知识点内容

初等变换

定义

设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，

• 倍乘： 常数 $k(k\ne 0)$ 乘以 $\mathbf{A}$ 的某行（列）元素
• 互换： 互换 $\mathbf{A}$ 的某两行（列）的位置
• 倍加： $\mathbf{A}$ 某行（列）元素的 $k(k\ne 0)$ 倍加到另一行（列）上

分类

• 初等行变换
• 初等列变换

初等矩阵

定义

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

分类

• 倍乘初等矩阵，记为 $\text{E}(i(k))$，表示单位矩阵的第 $i$ 行（列）乘以常数 $k$
• 互换初等矩阵，记为 $\text{E}(i,j)$，表示单位矩阵第 $i$ 行（列）与第 $j$ 行（列）互换位置
• 倍加初等矩阵，记为 $\text{E}(ij(k))$，表示单位矩阵第 $i$ 行（列）乘以常数 $k$ 加到第 $j$ 行（列）上

性质

• 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
• 初等矩阵均是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵
• 用初等矩阵 $\mathbf{P}$ 左乘（右乘） $\mathbf{A}$，其结果 $\mathbf{P}\mathbf{A}（\mathbf{A}\mathbf{P}）$，相当于对 $\mathbf{A}$ 作相应于 $\mathbf{P}$ 的初等行（列）变换
  • 初等行变换，左乘初等矩阵；
  • 初等列变换，右乘初等矩阵

问题集

【1995-05】
设
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$

$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}+a_{11}& a_{32}+a_{12}& a_{33}+a_{13}\end{array}\right]$$

$${\mathbf{P}}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$${\mathbf{P}}_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$

则必有

• $A)\mathbf{A}{\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2=\mathbf{B}$
• $B)\mathbf{A}{\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1=\mathbf{B}$
• $C){\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\mathbf{A}=\mathbf{B}$
• $D){\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1\mathbf{A}=\mathbf{B}$

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【2011-05】
设 $\mathbf{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，将 $\mathbf{A}$ 的第 $2$ 列加到第 $1$ 列得到矩阵 $\mathbf{B}$ ，再交换 $\mathbf{B}$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行得到单位矩阵，记
$${\mathbf{P}}_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$${\mathbf{P}}_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$
，则 $\mathbf{A}=$

• $A){\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2$
• $B){\mathbf{P}}_1^{-1}{\mathbf{P}}_2$
• $C){\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1$
• $D){\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1^{-1}$