排序算法
一，算法的时间复杂度
1.1 度量程序（算法）执行时间的两种方法
- 事后统计的方法
- 这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
- 事前估算的方法
- 通过分析某个算法的时间复杂度来判断那个算法更优。
1.2 时间频度
1.2.1 基本介绍
- 时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。
- 比如：计算1-100所有数字之后，我们可以设计两种算法：
1.2.2 基本案例——忽略常数项
- 结论：
- 2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近，20 可以忽略。
- 3n+10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无线接近，10 可以忽略。
1.2.2 基本案例——忽略低次项
- 结论：
- 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10。
- n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n。
1.2.3 基本案例——忽略系数
- 结论：
- 随着 n 值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5 和 3 可以忽略（n²）。
- 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键（n³）。
1.3 时间复杂度
1.3.1 基本介绍
- 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
- T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为 O(n²)。
- 计算时间复杂度的方法：
- 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
- 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
- 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)
1.3.2 常见时间复杂度
- 常见时间复杂度对应图：
- 说明：
- 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
- 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶（O(2n)）的算法。
1.3.3 常数阶O(1)
1.3.4 对数阶O(log2n)
1.3.5 线性阶O(n)
1.3.6 线性对数阶O(nlogN)
1.3.7 平方阶O(n²)
1.3.8 立方阶O(n³)，k方阶O(n^k)
- 说明：参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层 n 循环，其他类似。
1.3.9 排序算法平均时间复杂度和最坏时间复杂度
1.4 空间复杂度
1.4.1 基本介绍
- 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。
- 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况。
- 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间。
二，排序算法
2.1 排序算法的介绍
- 排序也称排序算法(Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。
2.2 排序的分类
2.3 冒泡排序
2.3.1 基本介绍
- 冒泡排序（Bubble Sorting）的基本思想是：通过对待排序序列从前向后（从下标较小的元素开始）,依次比较相邻元素的值，若发现逆序则交换，使值较大的元素逐渐从前移向后部，就象水底下的气泡一样逐渐向上冒。
- 优化：因为排序的过程中，各元素不断接近自己的位置，如果一趟比较下来没有进行过交换，就说明序列有序，因此要在排序过程中设置一个标志 flag 判断元素是否进行过交换。从而减少不必要的比较。(这里说的优化，可以在冒泡排序写好后，在进行)
2.3.2 图解
2.3.3 代码实现
public class BubbleSort {
public static void main(String[] args) {
int arr[] = {3,9,-1,10,20};
int temp = 0;
boolean flag = false; // 标志位
for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
if(arr[j] > arr[j + 1]){
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
flag = true;
}
}
if(flag){
System.out.println("第"+ (i+1) +"次排序之后结果：" + Arrays.toString(arr));
flag = false;
}else {
break;
}
}
}
}
2.4 选择排序
2.4.1 基本介绍
- 选择式排序也属于内部排序法，是从欲排序的数据中，按指定的规则选出某一元素，再依规定交换位置后达到排序的目的。
- 选择排序（select sorting）也是一种简单的排序方法。它的基本思想是：第一次从 arr[0]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[0]交换，第二次从 arr[1]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[1]交换，第三次从 arr[2]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[2]交换，…，第 i 次从 arr[i-1]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[i-1]交换，…, 第 n-1 次从 arr[n-2]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[n-2]交换，总共通过 n-1 次，得到一个按排序码从小到大排列的有序序列。
2.4.2 图解
2.4.3 代码实现
public class SelectSort {
public static void main(String[] args) {
int arr[] = {34,1,119,101};
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
int minIndex = i;
int min = arr[i];
// 循环确定最小数的内容和下标
for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
if(min > arr[j]){
minIndex = j;
min = arr[j];
}
}
// 如果minIndex没有发生变化，那么说明本轮排序，并未发生变化
if(minIndex != i){
// 执行交换，将最小数放到指定位置
arr[minIndex] = arr[i];
arr[i] = min;
}
System.out.println("第" + (i+1) + "轮排序后：" + Arrays.toString(arr));
}
}
}
2.5 插入排序
2.5.1 基本介绍
- 插入式排序属于内部排序法，是对于欲排序的元素以插入的方式找寻该元素的适当位置，以达到排序的目的。
- 插入排序（Insertion Sorting）的基本思想是：把 n 个待排序的元素看成为一个有序表和一个无序表，开始时有序表中只包含一个元素，无序表中包含有 n-1 个元素，排序过程中每次从无序表中取出第一个元素，把它的排序码依次与有序表元素的排序码进行比较，将它插入到有序表中的适当位置，使之成为新的有序表。
2.5.2 图解
2.5.3 代码实现
public class InsertSort {
public static void main(String[] args) {
int arr[] = {101,34,119,1};
int insertIndex = 0;
int insertValue = 0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
insertIndex = i - 1;
insertValue = arr[i];
// 1.insertIndex >= 0 保证在给insertValue找插入位置时，不越界
// 2.insertVal < arr[insertIndex]，后面小于前面，说明还没有找到插入位置
while (insertIndex >= 0 && insertValue < arr[insertIndex]){
// 将arr[insertIndex]后移
arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];
insertIndex--;
}
// 当退出循环时，说明后面的数（插入数）大于前面的数（arr[insertIndex]），那么插入位置就是前面的数后面（arr[insertIndex+1]）
if(insertIndex + 1 != i){ // 如果当前插入数的索引（i）等于insertIndex + 1，说明并没有发生元素的后移
arr[insertIndex + 1] = insertValue;
}
System.out.println("第" + i + "轮排序后：" + Arrays.toString(arr));
}
}
}
2.6 希尔排序
2.6.1 基本介绍
- 希尔排序是希尔（Donald Shell）于 1959 年提出的一种排序算法。希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序。
- 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至 1 时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。
2.6.2 图解
2.6.3 代码实现
- 交换法：效率低。
public static void shellSort1(int[] arr){
int temp = 0;
int count = 0;
for (int tag = arr.length / 2; tag > 0 ; tag /= 2) {
for (int i = tag; i < arr.length; i++) {
// 对每个组的元素进行插入排序
for(int j = i - tag;j >= 0;j -= tag){
if(arr[j] > arr[j + tag]){
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + tag];
arr[j + tag] = temp;
}
}
}
System.out.println("第"+(++count)+"轮排序：" + Arrays.toString(arr));
}
}
- 移动法：效率高。
public static void shellSort2(int[] arr){
int insertValue = 0;
int insertIndex = 0;
int count = 0;
for (int tag = arr.length / 2; tag > 0 ; tag /= 2) {
for (int i = tag; i < arr.length; i++) {
// 对每个组的元素进行插入排序
insertIndex = i - tag;
insertValue = arr[i];
while (insertIndex >= 0 && insertValue < arr[insertIndex]){
arr[insertIndex + tag] = arr[insertIndex]; // 元素后移
insertIndex -= tag;
}
arr[insertIndex + tag] = insertValue;
}
System.out.println("第"+(++count)+"轮排序：" + Arrays.toString(arr));
}
}
2.7 快速排序
2.7.1 基本介绍
- 快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
2.7.2 图解
2.7.3 代码实现
- 图1代码实现
/***
*
* @param arr 待排序数组
* @param left 左索引位置
* @param right 右索引位置
*/
public static void quickSort1(int[] arr,int left,int right){
int l = left;
int r = right;
int pivot = arr[(left + right) / 2];
int temp = 0;
// 如果左索引与右索引未重合到pivot
while (l < r){
// 定位pivot左边比pivot大的元素
while (arr[l] < pivot){
l++;
}
// 定位pivot右边比pivot小的元素
while (arr[r] > pivot){
r--;
}
// 定位后，如果左索引大于等于右索引，说明数组两边已处理完毕，左边 < pivot < 右边
if(l >= r){
break;
}
// 执行交换
temp = arr[l];
arr[l] = arr[r];
arr[r] = temp;
// 跳过与pivot相等的元素
if(arr[l] == pivot){
l++;
}
// 跳过与pivot相等的元素
if(arr[r] == pivot){
r--;
}
}
// 左索引和右索引与pivot下标一致，索引重合
if(l == r){
l++;
r--;
}
if(left < l){
quickSort1(arr,left,r);
}
if(right > r){
quickSort1(arr,l,right);
}
}
- 图2代码实现（参考博客： https://blog.youkuaiyun.com/elma_tww/article/details/86164674）
/***
*
* @param arr 待排序数组
* @param begin 开始下标
* @param end 结束下标
*/
public static void quickSort2(int[] arr,int begin,int end){
int temp = arr[begin];
int l = begin;
int r = end;
if(l < r) {
while (l != r){
while (arr[r] > temp && r > l){
r--;
}
arr[l] = arr[r];
// 左边为小于等于temp的数，为了防止元素与temp相等，而造成死循环
while (arr[l] <= temp && l < r){
l++;
}
arr[r] = arr[l];
}
arr[l] = temp;
quickSort2(arr,begin,--r);
quickSort2(arr,++l,end);
}else {
return;
}
}
2.8 归并排序
2.8.1 基本介绍
- 归并排序（MERGE-SORT）是利用归并的思想实现的排序方法，该算法采用经典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解，而治(conquer)的阶段则将分的阶段得到的各答案"修补"在一起，即分而治之)。
2.8.2 图解
-
基本思想：
-
合并子序列思想：
2.8.3 代码实现
public class MergeSort {
/***
*
* @param arr 排序的原始数组
* @param left 左索引
* @param right 右索引
* @param temp 中转的数组
*/
public static void mergeSort(int[] arr,int left,int right,int[] temp){
if(left < right){
int mid = (left + right) / 2;
// 向左递归分解
mergeSort(arr,left,mid,temp);
// 向右递归分解
mergeSort(arr,mid + 1,right,temp);
// 合并
merge(arr,left,mid,right,temp);
}
}
/***
*
* @param arr 排序的原始数组
* @param left 左索引
* @param mid 中间索引
* @param right 右边索引
* @param temp 中转的数组
*/
public static void merge(int[] arr,int left,int mid,int right,int[] temp){
int i = left;
int j = mid + 1;
int t = 0;
// 1.先把左右两边（有序）的数据按照规则填充到temp数组，直到左右两边的有序序列，有一边处理完毕为止
while (i <= mid && j <= right){
if(arr[i] <= arr[j]){
temp[t] = arr[i];
i++;
}else {
temp[t] = arr[j];
j++;
}
t++; // 无论那边插入了temp，最终下标都要后移
}
// 2.把有剩余数据的一边的数据依次全部填充到temp
while (i <= mid){
temp[t] = arr[i];
i++;
t++;
}
while (j <= right){
temp[t] = arr[j];
j++;
t++;
}
// 3.将temp数组的元素拷贝到arr对应的位置，注意：并不是每次都拷贝所有
t = 0;
int tempLeft = left;
while (tempLeft <= right){
arr[tempLeft] = temp[t];
tempLeft++;
t++;
}
}
}
2.9 基数排序
2.9.1 基本介绍
- 基数排序（radix sort）属于“分配式排序”（distribution sort），又称“桶子法”（bucket sort）或 bin sort，顾名思义，它是通过键值的各个位的值，将要排序的元素分配至某些“桶”中，达到排序的作用
- 基数排序法是属于稳定性的排序，基数排序法的是效率高的稳定性排序法
- 基数排序(Radix Sort)是桶排序的扩展
- 基数排序是 1887 年赫尔曼·何乐礼发明的。它是这样实现的：将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。
- 有负数的数组，我们不用基数排序来进行排序, 如果要支持负数，参考: https://code.i-harness.com/zh-CN/q/e98fa9
2.9.2 图解
2.9.3 代码实现
public class RadixSort {
public static void radixSort(int[] arr){
int[][] bucket = new int[10][arr.length];
int[] bucketElementCounts = new int[bucket.length];
// 获取所有数中的最高位数
int max = arr[0];
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
if(max < arr[i])
max = arr[i];
}
int counts = (max + "").length();
int index = 0;
for (int n = 0,x = 1; n <= counts; n++,x *= 10) {
// 将数组中所有元素放到对应的桶中
for (int k = 0; k < arr.length; k++) {
int i = arr[k] / x % 10;
bucket[i][bucketElementCounts[i]++] = arr[k];
}
// 将所有元素，按桶的顺序拷贝到原数组中
for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {
if(bucketElementCounts[i] > 0){
for (int j = 0; j < bucketElementCounts[i]; j++) {
arr[index++] = bucket[i][j];
}
// 将对应位置所有元素取出后，对应长度变为0
bucketElementCounts[i] = 0;
}
}
index = 0;
}
}
}
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