二次型
二次型的概念、矩阵表示
概念
f的秩=R(A)
矩阵表示
二次型的标准形、规范形
在二次型的标准形中，若平方项的系数只是1,-1,0，即
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
X
T
A
X
=
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
p
2
−
x
p
+
1
2
−
.
.
.
−
x
p
+
q
2
f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX=x_1^2+x_2^2+...+x_p^2-x_{p+1}^2-...-x_{p+q}^2
f(x1,x2,...,xn)=XTAX=x12+x22+...+xp2−xp+12−...−xp+q2,
则称为二次型的规范形（系数中1的个数p个，-1的个数q个，0的个数n-(p+q)个）
化二次型为标准形、规范形
合同矩阵、合同二次型
若存在可逆矩阵P，使得 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B，则称矩阵A和矩阵B是合同的。记为 A ≃ B A\simeq B A≃B
性质
（1）反身性：
A
≃
A
A\simeq A
A≃A
（2）对称性：
若
A
≃
B
，
则
B
≃
A
若A\simeq B，则B\simeq A
若A≃B，则B≃A
（3）传递性：
若
A
≃
B
,
B
≃
C
,
则
A
≃
C
若A\simeq B,B\simeq C,则A\simeq C
若A≃B,B≃C,则A≃C
（4）若A合同于B，则R(A)=R(B)；
（5）任何一个对称矩阵均可合同于一个对角矩阵；
惯性定理
对于一个二次型，作可逆线性变换化为标准形（或规范形）。所作的可逆线性变换不唯一，标准形也不唯一，但其标准形中正平方项的项数p（正惯性指数），负平方项的项数q（负惯性指数）都是由所给二次型唯一确定的。p+q=r是二次型对应矩阵的秩，p-q称为符号差。
实 对 称 矩 阵 A ≃ B ⇔ X T A X 与 X T B X 有 相 同 的 正 负 惯 性 指 数 实对称矩阵A\simeq B\hArr X^TAX与X^TBX有相同的正负惯性指数 实对称矩阵A≃B⇔XTAX与XTBX有相同的正负惯性指数
正定二次型
概念
正定二次型：
设有实二次型
f
(
x
)
=
x
T
A
x
f(x)=x^TAx
f(x)=xTAx，如果对任何x≠0都有f(x)>0(显然f(0)=0)，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0.
负定二次型：
设有实二次型
f
(
x
)
=
x
T
A
x
f(x)=x^TAx
f(x)=xTAx，如果对任何x≠0都有f(x)<0，则称f为负二次型，并称矩阵A是负的，记之A<0.
性质
可逆线性变换不改变二次型的正定性。
正定二次型的判定
实二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx为正定的充分必要条件是：A的正惯性指数p=r=n(r是A的秩，n是未知量的个数)。
正定矩阵的判定
对称矩阵A为正定的充要条件：
- A的特征值全为正；
- A ≃ E A\simeq E A≃E；
- A = D T D , 其 中 D 是 可 逆 阵 A=D^TD,其中D是可逆阵 A=DTD,其中D是可逆阵；
- A的各阶顺序主子式都为正，即
f正定的必要条件
- A的主对角线元素大于0；
- |A|>0.
负定矩阵判定
对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件的：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。
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