二次型（考研）

最新推荐文章于 2023-10-22 21:05:05 发布

qq_40407832

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分类专栏：线性代数

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二次型及其矩阵表示

$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3$
$x3)[11−2150−205][x1x2x3]f=\left(\begin{array}{r} x_1\ x_2\ x_3 \end{array}\right)\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & 0\\ -2 & 0 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]$
$A^T=A$ 对称，二次型的矩阵

标准型

规范性

正、负惯性指数

二次型的秩

坐标变换

$\left\{ \begin{aligned} &x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+c_{13}y_3\\ &x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+c_{23}y_3\\ &x_3=c_{31}y_1+c_{32}y_2+c_{33}y_3\\ \end{aligned} \right.$
$∣C∣≠0|C|\neq 0$
$C$ 是正交矩阵，则称为正交变换
$[x1x2x3]=[c11c12c13c21c22c23c31c32c33][y1y2y3]\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right]$

合同

若 $C^TAC=B,C-$ 可逆，称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同，记 $A≃BA\simeq B$
$f(x1,x2,x3)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy\begin{aligned}f(x_1,x_2,x_3)&=x^TAx\\ &=(Cy)^TA(Cy)\\ &=y^TC^TACy\\ &=y^TBy \end{aligned}$

二次型化为标准型

$∀xTAx,∃x=Cy⇒yTΛy=d1y12+d2y22+d3y32\forall x^TAx,\exist x=Cy\Rightarrow y^T\Lambda y=d_1y_1^2+d_2y_2^2+d_3y_3^2$
$C$ 是正交矩阵，则称为正交变换
配方法（了解）
- 依次消灭（ $x_1,x_2,x_3$ ）

正交变换法（掌握）

正定

$∀x=(x1,x2,x3)T≠0,f(x1,x2,x3)=xTAx>0\forall x=(x_1,x_2,x_3)^T\neq 0, f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx>0$ ，称 $f$ 为正定二次型.
正定二次型的矩阵称为正定矩阵.
证明正定矩阵
- 检验对称
- 证明正定
正定必要条件
- $a_{ii}>0$
- 顺序主子式全大于0
正定充分必要条件
- 特征值都大于0
证明正定
- 定义法： $∀x≠0⇒xTAx>0\forall x\neq 0\Rightarrow x^TAx>0$
- $λ>0\lambda > 0$

例题

已知矩阵 $A$ 正定，证明 $A^{-1}$ 是正定矩阵.
- 由 $A$ 正定 $⇒AT=A\Rightarrow A^T=A$
- $A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}$
- 设 $λ\lambda$ 是 $A^{-1}$ 的任一特征值，对应的特征向量是 $α\alpha$ ，即 $A−1α=λαA^{-1}\alpha=\lambda\alpha$
- 则 $A$ 的特征值是 $1λ\frac{1}{\lambda}$
- $A$ 正定 $⇒1λ>0⇒λ>0⇒A−1正定\Rightarrow \frac{1}{\lambda}>0\Rightarrow\lambda>0\Rightarrow A^{-1}正定$
设 $A−m×n,r(A)=nA-m\times n,r(A)=n$ ，证明 $A^TA$ 是正定矩阵
- $(ATA)T=AT(AT)T=ATA⇒ATA(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA\Rightarrow A^TA$ 为对称矩阵.
- $r(A)=n⇒Ax=0r(A)=n\Rightarrow Ax=0$ 只有零解.
- $∀x≠0⇒Ax≠0\forall x\neq 0\Rightarrow Ax\neq 0$
- $x^T(A^TA)x=(Ax)^T(Ax)$ 又 $Ax≠0⇒xT(ATA)x>0Ax\neq 0\Rightarrow x^T(A^TA)x>0$

$A, B$ 等价

$A, B$ 相似

$A, B$ 合同

举例子

二阶矩阵，特征值相同但是不相似
- $[2102][2002]\left[\begin{array}{cccc} 2 & 1 \\ 0 & 2\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} 2 & 0 \\ 0 & 2\\ \end{array}\right]$