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P4213 【模板】杜教筛（Sum）solution杜教筛模板题杜教筛模板题杜教筛模板题code#include <iostream>#include <cstdio>#include <map>using namespace std;typedef long long ll;const double eps = 1e-7;const int MOD = 1e9 + 7;const int N = 5e6 + 10;int prime[N

Visible Lattice Pointssolution三维图形，分成四个部分（x,y,z分别=0，x,y,z同时不等于0）,最后加上三条正半轴上的点三维图形，分成四个部分（x,y,z分别=0，x,y,z同时不等于0）,最后加上三条正半轴上的点三维图形，分成四个部分（x,y,z分别=0，x,y,z同时不等于0）,最后加上三条正半轴上的点Answer=∑d=1nμ(d)[(3+nd)∗(nd)2]+3Answer=\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d)[(3+\frac{n}{d}

TrickGCDsolutionF(n)表示[gcd==kn]的个数，k属于Z+,F(n)表示[gcd==kn]的个数，k属于Z_+,F(n)表示[gcd==kn]的个数，k属于Z+​,f(n)表示[gcd==n]的个数.f(n)表示[gcd ==n]的个数.f(n)表示[gcd==n]的个数.F(n)=∏i=1nainF(n)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{n}F(n)=i=1∏n​nai​​F(n)=∑n∣df(d)=>f(n)=∑n∣dμ(dn)F

∑i=1Ngcd(3i,i),n= 3N\sum\limits_{i=1}^{N}gcd(^3\sqrt i,i ),n=~^3\sqrt Ni=1∑N​gcd(3i​,i),n= 3N​=∑i=123−1gcd(1,i)+∑i=2333−1gcd(2,i)+...+∑i=(n−1)3n3−1gcd(n−1,i)+∑i=n3Ngcd(n,i)=\sum\limits_{i=1}^{2^3-1}gcd(1,i)+\sum\limits_{i=2^3}^{3^3-1}gcd(2,i)+..

题目戳这里（洛谷P3768）式子：∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i,j)i=1∑n​j=1∑n​ijgcd(i,j)=∑d=1nd∑i=1n∑j=1nij[gcd(i,j)==d]=\sum\limits_{d=1}^{n}d\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ij[gcd(i,j)==d]=d=1∑n​di=1∑n​j=1∑n​ij[gcd(i,j

题目戳这里（洛谷P5221）原式ans=∏i=1n∏j=1nlcm(i,j)gcd⁡(i,j)   (mod 104857601)ans = \prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j = 1}^n\frac{lcm(i, j)}{ \gcd(i, j)}~~~(mod ~104857601)ans=i=1∏n​j=1∏n​gcd(i,j)lcm(i,j)​   (mod 104857601)由

首先，我们根据题意可以得到下面这个式子：ans=∑x=1N∑y=1M[gcd⁡(x,y)=p][p∈prime]ans = \sum\limits_{x=1}^N\sum\limits_{y = 1}^M [\gcd(x,y)=p][p ∈ prime]ans=x=1∑N​y=1∑M​[gcd(x,y)=p][p∈prime]除掉 [gcd(x, y) = p]：ans=∑x=1N/p∑y=1M/p∑p∈prime[gcd(x,y)=1]ans = \sum\limits_{x=1}^{N/p}\su

题目链接戳这里（洛谷P3455）题目描述：给出 a, b, d, 求满足 1 ≤ x ≤ a, 1 ≤ y ≤ b, 且 gcd(x,y)=d 的二元组 (x,y) 的数量。思路首先，我们根据题意可以得到下面这个式子：ans=∑x=1a∑y=1b[gcd⁡(x,y)=d]ans = \sum\limits_{x=1}^a\sum\limits_{y = 1}^b [\gcd(x,y)=d]ans=x=1∑a​y=1∑b​[gcd(x,y)=d]除掉d，我们得到：ans=∑x=1a/d∑y=1b