MIT多变量微积分--3.矩阵，逆矩阵

1.叉积的应用

上一篇文章证明了det（A,B,C）=以A,B,C为临边的平行六面体的体积

若平面上有P1,P2,P3三点，试确定该平面的方程

答：1）在平面上随机取一点P（x，y，z）则有：
det（P1P2,P1P3,P1P）=0
由上式即可确定平面方程。
2）也可以P1P2×P1P3得到法向量，再用P1P·法向量=0也可以

算是殊途同归吧

2.矩阵

首先举一个例子哈，在x，y，z三维坐标系中有一个点的坐标是（x1，x2，x3），在变换了坐标系后，它的坐标变化为（u1,u2,u3）,关系如下：

那么，这与矩阵有什么关系呢？我们可以用矩阵去表示这三个式子。
矩阵，用老师的话说就是：just a table with numbers in it 。
用矩阵表示为:AX=U
这里的A,X,U是什么应该不必多说。

3.如何理解矩阵与向量的乘法

上面的那个坐标变换是一个再好不过的例子了，它显示了，矩阵与向量相乘，就是将向量里面的各个元素进行了变换，得到U。

矩阵与矩阵的乘法主要是线性代数里面的内容，这里不细说。

老师这里的助记法不错

从线性代数角度来讲，AX=U中的A相当于一个线性系统（在之前的博客中有提到），在输入向量X之后，得到了输出向量U。还有一种解释是：向量U是矩阵A 中的列向量列空间里的一个线性组合.而，X中的各个值就是线性组合的系数，

那么要如何理解ABX=U呢？
这里推荐上述的第一种理解，先对X进行B的线性变换，再对变换后的结果进行A的线性变换

遵循结合律 如 (AB)X=A（BX)

举一个例子加深理解：

上图的这个矩阵R，表示将一个二维坐标逆时针旋转90°，那么RRX=R²X就是将X旋转180°，类似的RRRX就是将坐标旋转270°。RRRRX就是将坐标旋转360°。

4.单位矩阵与逆矩阵

单位矩阵I的定义是对角线上是1，其余元素是0，它左乘一个向量就好比数字1乘另一个数字一样，没有发生变化
关于逆矩阵，还记得上面的那张图，是用x来表示u。我们可能会这么想，我们既然知道了如何用x去表示u，那么如何用u去表示x呢？
这就引入了逆矩阵。我们或许可以去解上面那个方程，去消元，代换，去解出u分别用x表示的式子，我们也可以直接取求它的逆矩阵，

若A的逆矩阵为M，则有以下性质:
AM=I
MA=I
也就是说先进行M变换，再进行A变换，相当于没变。
类比一维的数 先乘以2，在乘以0.5，没变

有了上面的基础，我们就可以去求解AX=B这样的多元一次方程组。
上式左乘一个A的逆矩阵M,得到，
$$X=A^{-1}B$$