为什么-128的补码是1000 0000？

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这个问题并不是什么面试题，而是今晚刚上大一初学C语言的小辈问我的，一瞬间竟然有点发蒙，不知道该如何回答。好在最后还是理清了思路，顺便将这个非常基础的知识点总结下吧。

我们都知道，表示二进制有符号数有三种方式，即原码、反码和补码，而计算机中一律使用补码进行存储和运算。正数和0的补码与其原码相同，负数的补码则是其对应的反码加1得到。

假设字长为n比特，原码、反码能够表示的有符号数真值范围都是[-2^n-1+1, 2^n-1-1]，而补码能够表示的真值范围是[-2^n-1, 2^n-1-1]，最小值多出来了一个。以下我们假设n=8，那么原码/反码表示法的范围是[-127, 127]，而补码表示法的范围是[-128, 127]。-128就是那特殊的一个，并且它在补码体系下没有原码和反码。

要搞清楚文章标题的问题，我们应该来看另一个特殊的数0。

在原码和反码表示法中，0有两种表示方式，分别为正0（0000 0000）和负0（1000 0000/1111 1111），然而在正常的算数中，0是不应该有符号的。补码表示法则没有这种区分，不论正0还是负0都会表示为0000 0000（负0取反加1丢掉溢出位后也是这个结果），所以补码正好能用1000 0000多表示一个数。根据上述补码表格中“递减”的规律，把1000 0000放在-127的后面，表示-128正合适（1000 0000 + 0111 1111 = 1111 1111 = -1），也符合符号位为1表示负数的惯例。

同理，n=16时（对应C语言的short），范围为[-32768, 32767]；n=32时（对应C语言的int），范围为[-2147483648, 2147483647]。

我们还可以用数学中的同余理论来理解补码。在补码体系中，字长为n就代表有2ⁿ个可能的值，仍然设n=8，那么模就是256，进而有如下同余关系：

-128 ≡ 128 (mod 256)
-127 ≡ 129 (mod 256)
...
-2 ≡ 254 (mod 256)
-1 ≡ 255 (mod 256)

可见，对于模256下的加减法，用[0, 1, 2, … , 254, 255]表示其值，或者用[-128, -127, … , -1, 0, 1, 2, … ,127]是完全等价的。-128与128，-127与129，…，-2与254，-1与255可以互换而加减法的结果不变。这样符号位就不必特殊处理，无符号数和有符号数的运算可以统一，加法器的实现也会简化（毕竟计算机中的减、乘、除运算最终都转化为加法）。再推广一下的话，8比特存储单元[00000000, …, 11111111]实际上可以按需要解释为任意一个连续的数值区间，而不会影响硬件。

最后回到-128上，按同余的方法理解，它的补码应该是模减去它的绝对值，即256 - 128，亦即：

1 0000 0000 - 1000 0000 = 1000 0000

利用这个思路，还可以解答为什么负数的补码是反码加1的问题。以-2为例：

1 0000 0000 - 0000 0010【-2的绝对值】
= (1111 1111 + 0000 0001) - 0000 0010
= 1111 1111 - 0000 0010 + 1
= 1111 1101【-2的反码】+ 1
= 1111 1110【-2的补码】

晚安。