计算几何之 点到直线的距离&点到线段的距离 代码模板与证明

点到直线的距离

已知直线上两点a、b，和直线外一点p，求p到直线ab的距离。

代码模板

double distance_line(Point p,Point a,Point b)
{
	Vector v1 = b - a,v2 = p - a;
	return fabs(cross(v1,v2) / len(v1));		//cross是v1和v2的叉积
}

证明

这里的v1是直线上的一个向量，v2是v1同起点，指向直线外点p的向量，p到直线的距离就等于两向量的叉积除以v1的模。这里两向量的叉积就是三角形PAB的面积的两倍，就等于底乘高，然后面积除以底就是高，底就是AB就是v1的模，高就是我们要求的距离，如下图：

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点到线段的距离

已知线段AB和线段外一点P，求P到线段AB的距离

代码模板

double distance_segment(Point p,Point a,Point b)
{
	if(a == b)
		return len(p-a);
	Vector v1 = b - a,v2 = p - a,v3 = p - b;
	if(dot(v1,v2) < 0)		//dot是v1和v2的点积
		return len(v2);
	if(dot(v1,v3) > 0)
		return len(v3);
	return distance_lint(p,a,b);
}

证明

点到线段的距离和点到直线的距离有一些不一样。点到线段的距离分三种情况，P在线段AB的左边、右边和中间，如下图：

首先判断若AB是同一点的话，P到线段AB的距离就是PA的长度，否则，分如下三种情况：

①对于第一种情况，P到线段AB的距离就是PA的长度。这就是第一个if判断，如图若$v_1$和$v_2$夹角的cos值小于0，说明是第一种情况，而$cos\theta$的正负就可以通过$v_1$和$v_2$的点积来判断。
②对于第二种情况，P到线段AB的距离就是PB的长度。这里是第二个if判断，若$v_1$和$v_3$夹角的cos值大于0，说明是第二种情况，而同理$cos\theta$的正负通过$v_1$和$v_3$的点积来判断。
③剩下的就是第三种情况了，P到线段AB的距离就是P到直线AB的距离。

不要忘记cos函数的正负情况。