自动控制原理-＞控制系统数学模型的建立_双运放控制传递函数怎么写-优快云博客

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本文详细介绍了控制系统数学模型的建立过程，包括微分方程模型、Laplace变换、传递函数模型和框图模型的构建与应用。通过具体的习题和计算，阐述了如何从物理系统到数学模型的转换，强调了引出点和比较点的移动原则，并提供了信号流图和梅森增益公式的应用示例。内容覆盖了线性系统的动态特性分析和模型简化方法。

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控制系统数学模型的建立

习题练习
微分方程模型建立
- 物理模型
Laplace变换
- 必须掌握的基本函数变换
- 一些推导过程
传递函数模型
总结
参考

习题练习

微分方程模型

判断题
实际系统都能够线性近似。
线性系统满足叠加性和齐次性。
不同的物理系统可以有相同的数学模型。
以系统模型为基础，可以用仿真手段研究系统行为。
仅仅依据数据和算法，无法建立系统的数学模型。
输入输出关系为y=mx+b的系统是线性系统。
×√√√××

计算题

计算注意事项

一般是KVL为主，辅助KCL消元。
解题时， $u_i$ 和 $u_o$ 差值的最简单的回路很重要，因为要得到某一个电流和差值的关系，便于化简，若是没有这一关系，化简到最后，很容易变成 $u_i$ 和 $u_o$ 与分别某一个电流的高阶微分方程的关系，导致最后一个电流很难消掉（就是这一个坎，你一消，就结束了，但你看着这个式子就是很头疼）， $u_i$ 和 $u_o$ 的差值与哪个支路电流有关，最后总的方程式就往哪里消即可。
我一开始没有注意到这一点，每道题都耗费了大量的时间。

电路数学模型的建立

在这里插入图片描述

求导之后进行了下面这些步骤
$\begin{aligned} R_{1}C_2 u_{0}^{\prime}=R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}\left(u_{2}^{\prime \prime}-u_{0}^{\prime \prime}\right)+R_{2} C_{2}\left(u_{i}^{\prime}-u_{0}^{\prime}\right) \\ +R_{1} C_{1}\left(u_{i}^{\prime}-u_{0}^{\prime}\right)+u_{i}-u_{0} \end{aligned}$
移项有
$\begin{aligned} & R_{1} R_{2} C_{1} C_2 u_{0}^{\prime \prime}+(R_{1} C_{1}+R_{1} C_{2}+R_{2}C_2) u_{0}^{\prime}+u_{0}\\=& R_{1} R_{2} C_{1} C_{2} u_{i}^{\prime \prime}+\left(R_{1} C_{1}+R_{2}C_2) u_{i}^{\prime}+u_{i}\right.\end{aligned}$
两边取Laplace变换有

$R_{1} R_{2} C_{1} C_{2} s^{2} U_{0}+\left(R_{1} C_{1}+R_{1}C_2+R_{2} C_{2}\right) U_{0}+U_{0}$
$=R_{1} R_{2}C_{1} C_{2} s^{2} U_{I}+\left(R_{1} C_{1}+R_{2}C_2) s+U_{I}\right.$
移项化简
$\frac{U_{0}}{U_{1}}=\frac{R_{1} R_{2} C_{1} C_2 s^{2}+(R_{1} C_{1}+R_{2}C_2) s+1}{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2} s^{2}+\left(R_{1} C_{1}+R_{1}C_2+R_{2} C_{2}s\right)+1}$

我们再用阻抗方法进行验证, ji
$\begin{aligned} &G_{a}(s)=\frac{U_{o}(s)}{U_{i}(s)}=\frac{R_{2}+\frac{1}{C_{2} s}}{\frac{R_{1} \cdot \frac{1}{C_{1} s}}{R_{1}+\frac{1}{C_{1} s}}+\left(R_{2}+\frac{1}{C_{2} s}\right)} \\ &=\frac{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2} s^{2}+\left(R_{1} C_{1}+R_{2} C_{2}\right) s+1}{R_{1} R_{2} C_{1} C_{2} s^{2}+\left(R_{1} C_{1}+R_{2} C_{2}+R_{1} C_{2}\right) s+1} \end{aligned}$
阻抗方法算的时候要格外小心，很容易发生计算错误，我在算这道题的时候算了四遍才对，当然可能只是因为我个人太粗心了，如果足够熟练也可以一步化简到位。
我们发现结果是一样的
在这里插入图片描述
对于图示的无源网络,设通过电阻 $R_{1}$ 的电流为 $i_{1}$ (方向自左向右),通过电容 $C$ 的电流为 $i_{2}$ (方向自左向右)，通过电阻 $R_{2}$ 的电流为 $i$ (方向自上向下 $)$ ,根据电压平衡可得
于是
$\left\{\begin{array}{l} R_{1} i_{1}=\frac{1}{C} \int i_{2} \mathrm{d} t \\ u_{o}=R_{2} i=R_{2}\left(i_{1}+i_{2}\right) \\ u_{i}=R_{1} i_{1}+u_{o} \\ i_{1}=\frac{u_{i}-u_{o}}{R_{1}}, \quad i_{2}=R_{1} C \frac{\mathrm{d} i_{1}}{\mathrm{d} t}=R_{1} C \cdot \frac{1}{R_{1}} \cdot \frac{\mathrm{d}\left(u_{i}-u_{o}\right)}{\mathrm{d} t} \end{array}\right.$
从而 $\quad u_{o}=R_{2} i=R_{2}\left[\frac{u_{i}-u_{o}}{R_{1}}+R_{1} C \cdot \frac{1}{R_{1}} \cdot \frac{\mathrm{d}\left(u_{i}-u_{o}\right)}{\mathrm{d} t}\right]$
整理后可得图 $2 - 49 ($ a ) 所示的无源网络的微分方程为
$R_{1} R_{2} C \frac{\mathrm{d} u_{o}}{\mathrm{d} t}+\left(R_{1}+R_{2}\right) u_{o}=R_{1} R_{2} C \frac{\mathrm{d} u_{i}}{\mathrm{d} t}+R_{2} u_{i}$
在这里插入图片描述
对于图示的无源网络,设通过左侧电阻 $R$ 的电流为 $i_{1}$ (方向自左向右)，通过右侧电阻 $R$ 的电流为 $i_{2}($ 方向自右向左 $)$ ,通过电容 $C_{1}$ 的电流为 $i_{2}$ (方向自左向右),通过电容 $C_{2}$ 的电流为 $i$ (方向自上向下 $)$ ,根据电压平衡可得
$\left\{\begin{array}{l} R i_{1}=R i_{2}+\frac{1}{C_{1}} \int i_{2} \mathrm{d} t \\ u_{i}=\frac{1}{C_{1}} \int i_{2} \mathrm{d} t+u_{o} \\ u_{o}=R i_{2}+\frac{1}{C_{2}} \int i \mathrm{d} t \end{array}\right.$