防线（二分）

最新推荐文章于 2025-05-20 19:46:55 发布

短尾黑猫

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文章标签：算法二分法

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给定防具组的起始点、终点和间距，求防具数量为奇数的位置及其数量。通过等差数列计算每组防具在特定位置的总数量，采用二分查找法确定唯一奇数位置的防具总数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题链接：防线

题意

给定 $N$ 组防具，并给出每组防具放置的起始点 $s t a r t$ 、终点 $e n d$ 和防具与防具之间的距离 $d$ 。每个位置的防具数量可以由不同组的防具叠加。求防具数量为奇数的位置和该位置的防具数量。（题目给定防具数量为奇数的位置唯一）

思路

题目给出起始点、终点和防具之间的距离，可以很直观的看出，每组防具的位置分布是一个等差数列 $a_n=a_1+(n-1)*d$ 。
所以，在一维坐标上，我们可以很快的算出每一组防具在某段位置上的防具总数，假设要求第 $i$ 组防具在区间 $[s, e]$ 上的防具总数，则有公式： $Sum=\lceil\cfrac{e-s}{d}\rceil=\lfloor\cfrac{e-s}{d}\rfloor+1$

接下来就是进行位置的锁定。
我们先假设第 $x$ 个位置的防具数量是奇数，则其他位置的防具数量都是偶数。因为偶数加偶数还是偶数，所以我们可以知道在区间 $[1, x - 1]$ 的防具总数是偶数，而区间 $[x, n]$ 的防具总数是奇数。

综上，我们可以将问题转化为二分答案的问题。
如果 $m i d$ 前的防具总数是奇数，则说明答案在左半边，于是 $r = m i d$ ，如果是偶数，则说明答案在右半边，于是 $l = m i d + 1$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define sc scanf
#define pf printf
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
int n;
struct Node
{
    int s, e, d;
}p[N];
//注意sum的值可能会爆int
LL get_sum(int x)
{
    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        if(p[i].s <= x)
        	//区间右端点不能超过x，所以要取较小值。
            ans += (min(p[i].e, x) - p[i].s) / p[i].d + 1;
    return ans;
}

void solve()
{
    sc("%d", &n);
    int l = 0, r = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        sc("%d %d %d", &p[i].s, &p[i].e, &p[i].d);
        //答案不会超过最大的终点值，所以r取最大。
        r = max(r, p[i].e);
    }
    
    while(l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(get_sum(mid) & 1) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    LL sum = get_sum(r) - get_sum(r - 1);
    if(sum & 1)  pf("%d %lld\n", r, sum);
    else puts("There's no weakness.");
}

int main()
{
    int t; sc("%d", &t); while(t--) solve();
    return 0;
}