CH0503 奇数码问题（逆序对）

最新推荐文章于 2022-10-05 13:09:32 发布

短尾黑猫

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分类专栏： Acwing 算法题文章标签：网络算法排序算法

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奇数码问题中，两个局面可达条件是对应序列的逆序对奇偶性相同。空格移动不会改变序列，而数与后n-1个数交换导致逆序对变化为偶数。对于偶数n，局面可达还需考虑空格行数之差的奇偶性。n*m数码问题的判定也基于这些结论。

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题面：奇数码问题

思路：

找了好久，没有找到奇数码问题和 $n * m$ 数码问题的详细证明。先记个结论。

奇数码游戏两个局面可达，当且仅当两个局面下网络中的数依次写成不含零的 $1$ 到 $n * n - 1$ 的序列后，逆序对个数的奇偶性相同。

结论必要性证明：空格（即 $0$ )左右移动的时候，我们列出出来的序列是不变的；空格上（下）移动时，相当于某个数与它后（前）边 $n - 1$ 个数交换了位置，因为 $n - 1$ 是偶数，所以逆序对数的变化也是一个偶数。

拓展到 $n$ 为偶数的情况，此时两个局面可达，当且仅当两个局面对应的网络写成序列之后， $“$ 逆序对数之差 $”$ 和 $“$ 两个局面下空格所在的行数之差 $”$ 奇偶性相同。
$n * m$ 数码问题也是根据上面两个结论来进行判定有解性的。具体的，慢慢找。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define sc scanf
#define pf printf
using namespace std;
const int N = 250010;

int a[N], b[N], w[N];

//归并排序求逆序对数
int merge(int l, int r, int x[])
{
    if(l == r)    return 0;
    int mid = l + r >> 1;
    int res = merge(l, mid, x) + merge(mid + 1, r, x);
    
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while(i <= mid && j <= r) {
        if(x[i] <= x[j])    w[k++] = x[i++];
        else {
            res += mid - i + 1;
            w[k++] = x[j++];
        }
    }
    while(i <= mid) w[k++] = x[i++];
    while(j <= r)   w[k++] = x[j++];
    for(i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) x[i] = w[j];
    return res;
}

void read(int *x, int len)
{
    int k = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        int num; sc("%d", &num);
        if(num != 0)    x[k++] = num;
    }
}

int main()
{
    int n;
    while(cin >> n) {
        read(a, n * n);
        read(b, n * n);
        int cnt_a = merge(0, n * n - 1, a);
        int cnt_b = merge(0, n * n - 1, b);
        //要使得两个局面可达
        //当且仅当两个局面的不含空格的序列的逆序对个数的奇偶性一致
        if((cnt_a & 1) == (cnt_b & 1))  puts("TAK");
        else    puts("NIE");
    }
}