C. Three Bags - Codeforces Round #695 (Div. 2)

Codeforces Round #695 (Div. 2) C. Three Bags

题目链接：https://codeforces.com/contest/1467/problem/C

题目大意

有三个袋子，每个袋子中有若干个数。我们可以进行如下操作：从袋子 $x$ 中取出数 $a$ ， 从另一个袋子 $y$ 中取出数 $b$ ，然后将 $a-b$ 放回袋子 $x$ 中。重复操作直到只剩一个数，问我们最后能得到的数最大是多少。

解题思路

$$\begin{gathered} a_1,a_2,...,a_{n1} \\ {b}_1,b_2,...,b_{n2} \\ {c}_1,c_2,...,c_{n3} \end{gathered}$$
我们假设最终合并到 $c_1$ 中，那么对于其他每个数，它都会通过不同路径到 $c_1$ ，若它走了奇数步，则最终会取负值(比如 $b_1$ 一步到 $c_1$ 将得到 $c_1-b_1$ ，$b_1$ 在最终答案中取负值)；若走偶数步将得到正值(比如 $a_1$ 先到 $b_1$ 得到 $b_1-a_1$ ，$b_1-a_1$ 再到 $c_1$ 得到 $c_1-(b_1-a_1)=c_1-b_1+a_1$ ，$a_1$ 在最终答案中取正值)。

分析可得最终结果包含所有数，不过有的数取负值，我们只要让取负值的数的和最小，得到的答案便是最大值。

设 $ans=sum-2\ast sub$ ，$ans$ 为最终答案，$sum$ 为所有数的和，$sub$ 为要取负值的数的和(因为 $sum$ 中加了 $sub$ 值，所以答案要减两次)。所以要求 $ans$ 的最大值，只要求出 $sub$ 的最小值便可。

第一种情况，假设最终合并到 $c_1$ ，其他所有取正值的数都通过 $a_1$ 合并到 $c_1$ ，而 $a_2,...,a_{n1}$ 没法通过 $a_1$ 到 $c_1$ ，我们让它们直接合并到 $c_1$ ，那么可知 $a_1,a_2,...,a_{n1}$ 在结果中取负值，其他所有数都取正值。设 $a,b,c$ 的和分别是 $s_1,s_2,s_3$ ，则 $sub=min(s_1,s_2,s_3)$ 。

第二种情况，依然假设最终合并到 $c_1$ ，让 $a_2,...,a_{n1}$ 通过 $b_1$ 合并到 $c_1$ ，$b2,...,b_{n2}$ 和 $c_2,...,c_{n3}$ 都通过 $a_1$ 到 $c_1$ ，则分析可知 $a_1,b_1$ 将取负值，其他数都将取正值。所以 $sub=a_1+b_1$ ，我们只要让 $a_1+b_1$ 取值最小便可求得答案。

害，太难表述了:），直接上代码吧~

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 300005

typedef long long ll;
int a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];

int main(void)
{
    int n1, n2, n3;
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &n3);
    ll sum = 0, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0;
    for(int i=0;i < n1+n2+n3;++i) {
        int t; scanf("%d", &t);
        if(i < n1) a[i] = t, s1 += t;
        else if(i < n1+n2) b[i-n1] = t, s2 += t;
        else c[i-n1-n2] = t, s3 += t;
    }
    sum = s1 + s2 + s3;
    sort(a, a+n1);
    sort(b, b+n2);
    sort(c, c+n3);
    long long sub = min(s1, min(s2, s3));
    sub = min(sub, (ll)a[0] + b[0]);
    sub = min(sub, (ll)a[0] + c[0]);
    sub = min(sub, (ll)b[0] + c[0]);
    printf("%lld\n", sum - 2 * sub);
    return 0;
}