Codeforces Round #698 (Div. 2) C. Nezzar and Symmetric Array
题目链接:https://codeforces.com/contest/1478/problem/C
题目大意
有一个长度为 2n2n2n 的对称数组,数组中每个元素都不相同,且对于每个数 aia_iai 都能在该数组中找到一个数 aja_jaj,满足 ai=−aja_i = -a_jai=−aj。另外有一个数组 ddd ,did_idi 为 aia_iai 与数组中所有项差的绝对值的和。现已知数组 ddd ,问能否找到满足条件的数组 aaa 。
解题思路
我们假设 a1∼ana_1 \sim a_na1∼an 为正数,且按升序排列,an+1∼a2na_{n+1} \sim a_{2n}an+1∼a2n 为与之对应的负数。则:
d1=∣a1−a2∣+∣a1−a3∣+...+∣a1−a2n−1∣+∣a1−a2n∣=∣a1+a1∣+∣a1−a2∣+∣a1+a2∣+...+∣a1−an∣+∣a1+an∣=2a1−a1+a2+a1+a2+...−a1+an+a1+an=2a1+2a2+...+2an=2(a1+a2+...+an)
d_1 = |a_1 - a_2| + |a_1 - a_3| + ... +|a_1 - a_{2n-1}| + |a_1 - a_{2n}| \\
= |a_1 + a_1| + |a_1 - a_2| + |a_1 + a_2| + ... + |a_1 - a_n| + |a_1 + a_n| \\
= 2a_1 - a_1 + a_2 + a_1 + a_2 + ... -a_1 + a_n + a_1 + a_n \\
= 2a_1 + 2a_2 + ... + 2a_n \\
= 2(a_1 + a_2 + ... + a_n)
d1=∣a1−a2∣+∣a1−a3∣+...+∣a1−a2n−1∣+∣a1−a2n∣=∣a1+a1∣+∣a1−a2∣+∣a1+a2∣+...+∣a1−an∣+∣a1+an∣=2a1−a1+a2+a1+a2+...−a1+an+a1+an=2a1+2a2+...+2an=2(a1+a2+...+an)
同理我们可以求出 d2∼dnd_2 \sim d_nd2∼dn :
d2=2(2a2+a3+...+an)d3=2(3a3+a4+...+an)⋮dn=2(nan)
d2 = 2(2a_2 + a_3 + ... + a_n) \\
d3 = 2(3a_3 + a_4 + ... + a_n) \\
\vdots \\
d_n = 2(na_n)
d2=2(2a2+a3+...+an)d3=2(3a3+a4+...+an)⋮dn=2(nan)
从后往前解方程,可得:
an=dn/2nan−1=(dn−1/2−an)/(n−1)an−2=(dn−2/2−an−an−1)/(n−2)⋮a1=d1/2−an−an−1−...−a2
a_n = d_n / 2n \\
a_{n-1} = (d_{n-1}/2 - a_n) / (n-1) \\
a_{n-2} = (d_{n-2}/2 - a_n - a_{n-1}) / (n-2) \\
\vdots \\
a_1 = d_1/2 - a_n - a_{n-1} - ... - a_2
an=dn/2nan−1=(dn−1/2−an)/(n−1)an−2=(dn−2/2−an−an−1)/(n−2)⋮a1=d1/2−an−an−1−...−a2
然后只要判断能否解出符合条件的 aaa 即可。
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(void)
{
int T; scanf("%d", &T);
while(T--) {
int n; scanf("%d", &n);
vector<ll> d(2*n), a(n);
bool flag = true;
map<ll, int> mp;
for(int i=0; i<2*n; ++i) {
scanf("%lld", &d[i]);
mp[d[i]]++;
}
for(auto it : mp) // 因为每个数都不相同,所以每个数只会出现两次
if(it.first & 1 || it.second != 2) {flag = false; break; }
sort(d.begin(), d.end());
ll s = 0;
for(int i=n-1; i>=0; --i) {
a[i] = d[i*2]/2;
if(a[i] <= s) { flag = false; break; } // a大于0
a[i] -= s;
if(a[i] % (i+1)) { flag = false; break; } // a必须是整数
a[i] /= (i+1);
if(i < n-1 && a[i] >= a[i+1]) { flag = false; break; } // a是递增的
s += a[i];
}
printf("%s\n", flag ? "YES" : "NO");
}
return 0;
}
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