C. Nezzar and Symmetric Array - Codeforces Round #698 (Div. 2)

Codeforces Round #698 (Div. 2) C. Nezzar and Symmetric Array

题目链接：https://codeforces.com/contest/1478/problem/C

题目大意

有一个长度为 $2n$ 的对称数组，数组中每个元素都不相同，且对于每个数 $a_i$ 都能在该数组中找到一个数 $a_j$，满足 $a_i=-a_j$。另外有一个数组 $d$ ，$d_i$ 为 $a_i$ 与数组中所有项差的绝对值的和。现已知数组 $d$ ，问能否找到满足条件的数组 $a$ 。

解题思路

我们假设 $a_1\sim a_n$ 为正数，且按升序排列，$a_{n+1}\sim a_{2n}$ 为与之对应的负数。则：
$$\begin{gathered} d_1=|a_1-a_2|+|a_1-a_3|+...+|a_1-a_{2n-1}|+|a_1-a_{2n}| \\ =|a_1+a_1|+|a_1-a_2|+|a_1+a_2|+...+|a_1-a_n|+|a_1+a_n| \\ =2a_1-a_1+a_2+a_1+a_2+...-a_1+a_n+a_1+a_n \\ =2a_1+2a_2+...+2a_n \\ =2(a_1+a_2+...+a_n) \end{gathered}$$
同理我们可以求出 $d_2\sim d_n$ ：
$$\begin{gathered} d2=2(2a_2+a_3+...+a_n) \\ d3=2(3a_3+a_4+...+a_n) \\ ⋮ \\ {d}_n=2(n{a}_n) \end{gathered}$$
从后往前解方程，可得：
$$\begin{gathered} a_n=d_n/2n \\ {a}_{n-1}=(d_{n-1}/2-a_n)/(n-1) \\ {a}_{n-2}=(d_{n-2}/2-a_n-a_{n-1})/(n-2) \\ ⋮ \\ {a}_1=d_1/2-a_n-a_{n-1}-...-a_2 \end{gathered}$$
然后只要判断能否解出符合条件的 $a$ 即可。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main(void)
{
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        int n; scanf("%d", &n);
        vector<ll> d(2*n), a(n);
        bool flag = true;
        map<ll, int> mp;
        for(int i=0; i<2*n; ++i) {
            scanf("%lld", &d[i]);
            mp[d[i]]++;
        }
        for(auto it : mp)   // 因为每个数都不相同，所以每个数只会出现两次
            if(it.first & 1 || it.second != 2) {flag = false; break; }
        sort(d.begin(), d.end());
        ll s = 0;
        for(int i=n-1; i>=0; --i) {
            a[i] = d[i*2]/2; 
            if(a[i] <= s) { flag = false; break; }      // a大于0
            a[i] -= s;
            if(a[i] % (i+1)) { flag = false; break; }   // a必须是整数
            a[i] /= (i+1);
            if(i < n-1 && a[i] >= a[i+1]) { flag = false; break; }  // a是递增的
            s += a[i];
        }
        printf("%s\n", flag ? "YES" : "NO");
    }
    return 0;
}