矩阵的最小路径和

描述
给定一个 n * m 的矩阵 a，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，输出所有的路径中最小的路径和。
示例1
输入：
[[1,3,5,9],[8,1,3,4],[5,0,6,1],[8,8,4,0]]

返回值：
12
方法一：暴力递归：
因为是从左上角到右下角，只能向右或者向下，

可以使用递归，
把问题简化为：当前位置(i, j)和右边位置(i + 1, j)和下面位置(i, j + 1)之间的问题
base case：

当i == row - 1 && j == col - 1时，位于矩阵右下角，即为最终结果

当i == row - 1时，位于最后一行，此时只能向右走

当j == col - 1时，位于最右一行，此时只能向下走

当位于矩阵中间某个位置时(i, j)，此时要判断右边位置(i + 1, j)和下面位置(i, j + 1)中的值谁大谁小
代码：

public int minPathSum(int matrix[][],int i,int j){
        //如果（i,j）就是右下角的元素
        if(i==matrix.length-1&&j==matrix[0].length-1){
            return matrix[i][j];
        }
        //如果（i,j）在右边界上，只能向下走
        if(j==matrix[0].length-1){
            return matrix[i][j]+minPathSum(matrix,i+1,j);
        }
        //如果（i,j）在下边界上，只能向右走
        if(i==matrix.length-1){
            return matrix[i][j]+minPathSum(matrix,i,j+1);
        }
        int left=minPathSum(matrix,i,j+1);
        int down=minPathSum(matrix,i+1,j);
        return matrix[i][j]+Math.max(left,down);
    }在这里插入代码片

方法二;动态规划

import java.util.Arrays; 
public class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        if (grid == null) {
            return 0;
        }
        int rowLen = grid.length;
        int colLen = grid[0].length;
        int[] res = new int[colLen + 1];
        Arrays.fill(res, Integer.MAX_VALUE);
        res[1] = 0;
        for (int i = 1; i <= rowLen; i++) {
            for (int j = 1; j <= colLen; j++) {
                //当前点的最小路径和为 : 从左边和上边选择最小的路径和再加上当前点的值
                //res[j]没更新之前就表示i-1行到第j个元素的最小路径和
                //因为是从左往右更新,res[j-1]表示i行第j-1个元素的最小路径和
                res[j] = Math.min(res[j], res[j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
            }
        }
        return res[colLen];
    }
}