P1351 联合权值(模拟,贪心,数学)

本文解析了一道名为P1351的算法题,通过巧妙运用树上路径思想和平方差公式,高效求解树上距离为2的有序点对的乘积和与最大值。文章分享了如何利用中转点概念,结合动态规划思路,避免O(n^2)的高时间复杂度,最终以O(n)的时间复杂度完成任务。

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虽然这道题打了“动态规划,动规,dp”和“最近公共祖先,LCA”的标签,但实际上一点关系没有???

P1351 联合权值

题目大意

给出一棵树,求树上距离等于2的有序点对的乘积和和乘积最大值.

题目分析

首先,此题说的比较的隐晦. 所谓的有 n − 1 n-1 n1条边, n n n个点的无相连通图,其实就是一颗无根树. 换句话说,没有一个环. 所以,要是两个点同于另一个点(称为中转点)相连,则它们不可能再有边相连,即它们之间的距离为2.

也就是说,我们可以枚举每个点作为中转点,然后计算以这个点作为中转点的点对的乘积.

不难想到用排列,但是这样 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的时间复杂度是不可接受的.

可以这样思考:

假设每个中转点周围有两个点,权值分别为 a , b a,b a,b,则联合权值为 2 a b = ( a + b ) 2 − ( a 2 + b 2 ) 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2) 2ab=(a+b)2(a2+b2).

若有三个点,权值分别为 a , b , c a,b,c a,b,c,则联合权值为 2 a b + 2 b c + 2 a c = ( a + b + c ) 2 − ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2) 2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2(a2+b2+c2).

综上,以某个节点为中转点的联合权值之和等于权值和的平方减去权值的平方和.

为了找到最大的联合权值,只需维护一个中转点周围最大的两个权值 m a x 1 , m a x 2 max1,max2 max1,max2,相乘后与其他判断即可.

其他坑点
1.题目只说了对和取模,没有说对最大值取模
2.注意随时取模

程序实现

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 400010
#define mod 10007
using namespace std;
struct edge{
	int v,next;
}e[maxn];
int n,val[maxn];
int tot,head[maxn];
int ans1,ans2;
void add(int u,int v){
	e[++tot].v =v;
	e[tot].next =head[u];
	head[u]=tot;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	int a,b;
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&a,&b);
		add(a,b);
		add(b,a);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&val[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int max1=0,max2=0;
		int t1=0,t2=0;//t1表示和,t2表示平方和
		for(int j=head[i];j;j=e[j].next ){
			int v=e[j].v ;
			if(val[v]>max1)max2=max1,max1=val[v];
			else if(val[v]>max2)max2=val[v];//维护max1,max2
			t1=(t1+val[v])%mod;
			t2=(t2+(val[v]*val[v])%mod)%mod;//随时取模
		}
		t1=(t1*t1)%mod;
		ans1=(ans1+t1-t2+mod)%mod;
		if(ans2<max1*max2)ans2=max1*max2;
	}
	printf("%d %d\n",ans2,ans1);
	return 0;
} 

题后总结

1.注意题目中的隐藏条件,比如说这题的中转点和平方的妙用. 实际上,这道题利用了树上路径的思想(树上路径是唯一的),平方差的使用要对这方面的数学知识很熟悉才行.

2.注意题目细节,比如说什么取模什么不用.

一、综合实战—使用极轴追踪方式绘制信号灯 实战目标:利用对象捕捉追踪和极轴追踪功能创建信号灯图形 技术要:结合两种追踪方式实现精确绘图,适用于工程制图中需要精确定位的场景 1. 切换至AutoCAD 操作步骤: 启动AutoCAD 2016软件 打开随书光盘中的素材文件 确认工作空间为"草图与注释"模式 2. 绘图设置 1)草图设置对话框 打开方式:通过"工具→绘图设置"菜单命令 功能定位:该对话框包含捕捉、追踪等核心绘图辅助功能设置 2)对象捕捉设置 关键配置: 启用对象捕捉(F3快捷键) 启用对象捕捉追踪(F11快捷键) 勾选端、中心、圆心、象限等常用捕捉模式 追踪原理:命令执行时悬停光标可显示追踪矢量,再次悬停可停止追踪 3)极轴追踪设置 参数设置: 启用极轴追踪功能 设置角度增量为45度 确认后退出对话框 3. 绘制信号灯 1)绘制圆形 执行命令:"绘图→圆→圆心、半径"命令 绘制过程: 使用对象捕捉追踪定位矩形中心作为圆心 输入半径值30并按Enter确认 通过象限捕捉确保圆形位置准确 2)绘制直线 操作要: 选择"绘图→直线"命令 捕捉矩形上作为起 捕捉圆的上象限作为终 按Enter结束当前直线命令 重复技巧: 按Enter可重复最近使用的直线命令 通过圆心捕捉和极轴追踪绘制放射状直线 最终形成完整的信号灯指示图案 3)完成绘制 验证要: 检查所有直线是否准确连接圆心和象限 确认极轴追踪的45度增量是否体现 保存绘图文件(快捷键Ctrl+S)
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