P2511 [HAOI2008]木棍分割（二分，动态规划）

P2511 [HAOI2008]木棍分割

题目大意

有$n$根木棍, 第$i$根木棍的长度为$Le{n}_i$，$n$根木棍依次连结了一起, 总共有$n-1$个连接处. 现在允许你最多砍断$m$个连接处, 砍完后$n$根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小.

题目分析

总长度最大的一段最小：最大值最小问题，可以直接二分答案求最大值$ans$.

求方案数：动态规划问题.（dp中的隔板法）

我们设$f[i][j]$表示前$i$个数分成$j$段时的方案数（分成$j$段也就是砍了$j-1$次）

那么显然有如下的状态转移方程：

$f[i][j]={\sum }_{k=left[i]}^{i-1}f[k][j-1]$，$left[i]$表示使得${\sum }_{k=left[i]}^{i}Len[k]⩽ans$成立的最小值.

然而这种写法的时间和空间复杂度均很高，分别达到了$O(n^2)$和$O(n^3)$的水平，所以还需要优化.

一个显而易见的想法是维护一个前缀和$g$,$g[i]={\sum }_{k=1}^{i}f[k][j]$，这样子其中一维就被消掉了.

然后发现$j$一维的状态总是只与$j-1$有关，所以可以用滚动数组滚掉.

继续思考，发现这样子连$f$都不需要开二维了，直接开一个一维的存就好了，算完$f[][j]$然后更新$g[]$，下一轮转移时$f[][j+1]$的状态直接由$g[]$转移而来.

程序实现

//注意一些边界和初始化的细节问题
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 10007
#define maxn 50010
using namespace std;
int n,m,a[maxn],lef[maxn],f[maxn],s[maxn],ans,sum;
bool check(int x){
	int tot=1,now=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(now+a[i]>x)now=a[i],tot++;
		else now+=a[i];
	}//二分查找最大值最小
	if(tot>m)return false;
	return true; 
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	m++;//m次分割=m+1段
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		l=max(l,a[i]);
		r+=a[i];
	}
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))ans=mid,r=mid-1;//最小值仍可以变小
		else l=mid+1;
	}
	int top=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]+=a[i-1];
		while(a[i]-a[top]>ans)top++;
		lef[i]=top;//找到左端最远的值
	}
	fill(s,s+n+1,1);
	//当然用for循环初始化也行，意思是1到n只有一段的方案都只有一种
	for(int i=1;i<=m;i++){//由于滚动的是“分成i段”，所以这一维在外边
		for(int j=1;j<=n;j++)f[j]=(s[j-1]-s[lef[j]-1])%mod;
		s[0]=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)s[j]=f[j]+s[j-1];
		sum=(f[n]+sum)%mod;//记得取模
	}
	printf("%d %d\n",ans,sum);
	return 0;
}