假设检验

假设检验的基本思想

1. 已知总体分布的形式，需对其中的未知参数给出假设检验。——参数检验
2. 总体分布未知时，对总体的分布或数字特征进行假设检验。——非参数检验（例如检验某个总体是否为正态分布）

两类错误

第I类错误：拒绝正确的原假设
第II类错误：接收错误的原假设
这两类错误相互制约，此消彼长

$P\_$与统计显著性

$P\_$值：当原假设成立时，检验统计量比观察到的结果更为极端的概率
显著度$\alpha$：当$P\_$值小于显著度$\alpha$，则表明统计显著，拒绝原假设

单个正态总体参数的假设检验

均值μ的假设检验

σ²已知

检验统计量为$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{(}n)}$
原假设成立时，其服从分布$N(0,1)$

σ²未知

检验统计量为$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{(}n)}$
原假设成立时，其服从分布$t(n-1)$

方差σ²的假设检验

检验统计量为${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}$
原假设成立时，其服从分布${\chi }^2(n-1)$

两个正态总体参数的假设检验

μ1-μ2的假设检验

σ1与σ2已知

检验统计量为$Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}$
原假设成立时，其服从分布$N(0,1)$

σ1=σ2但未知

检验统计量为$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$
$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$
原假设成立时，其服从分布$t(n_1+n_2-2)$

σ1≠σ2且未知

(1) $n_1>50,n_2>50$
检验统计量为$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}$
原假设成立时，其服从分布$N(0,1)$
(2) 有限小样本
检验统计量$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}$
原假设成立时，其服从分布$t(min(n_1-1,n_2-1))$

σ1/σ2的假设检验

检验统计量为$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$
原假设成立时，其服从分布$F(n_1-1,n_2-2)$

拟合优度检验

可用于参数检验，也可用于非参数检验（是否服从某一特定分布），比较适合用于离散型样本

基本步骤

1. 将总体$X$取值的全体分成$k$个子集$A_1,A_2,...,A_k$
2. 记录实际频数$n_i(i=1,...,k)$
3. 计算理论频数$n{p}_i(i=1,...,k)$
4. 统计量${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(n_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}=\sum _{i=1}^k\frac{n_i^2}{n{p}_i}-n\sim {\chi }^2(k-r-1)$，其中k为分类数，r为未知参数个数（可以为0）（要求$n$要足够大，$n\ge 50，n{p}_i\ge 5$）
5. 进行卡方检验，看统计量${\chi }^2$是否服从卡方分布