（蒟蒻的）初等数论笔记

欧几里得算法（辗转相除法）

简单来说就是： c是a和b的最大公因数，当且仅当c是b和a%b的最大公因数

证明 （注：下文的a/b是整型变量的除）

gcd(a,b) 设a>b     a=b*k+c (c=a%b)   即a=b*k+a%b       
                                          
对于u=gcd(a,b)        
                                                                                                         
u能整除a也能整除b   （1）                 （u能整除a---->a=k1*u，u能整除b---->b=k2*u     c=a%b=a-(a/b)*b  ）
a=b*k+c (c=a%b)     (2)                 （将a=k1*u和b=k2*u代入c=a-(a/b)*b得  c=(k1-(k1/k2)*k2)*u  即c为u的倍数）
(1)+(2) u能整除c

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)....

拓展欧几里得

主要是求关于x和y的方程ax+by=gcd(a,b)的所有整数解

既然是拓展欧几里得，那肯定和欧几里得算法有关系   gcd(a,b)=gcd(b,a%b）拓展到方程里面有

a*x1+b*y1=gcd(a,b)
b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b)

方程右边相等，得a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2

a%b可替换为a-(a/b)*b    得a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2
整理得a*x1+b*y1=a*y2+(x2-(a/b)*y2)*b

因为等号两边的a和b的系数要相同我们得到两个等式

x1=y2;
y1=x2-(a/b)*y2;

按欧几里得算法对于gcd(a,b)一直化下去最终会得到b=0，此时gcd(a,b)=a
即对于此时的方程a*x+b*y=gcd(a,b)来说x=1,y=0
我们可以回溯得到最初的方程的x和y的值

需要注意

如果有解的话这样得到的解肯定是有无数多个的

对于a*x+b*y=c来说
（1）同时把x+b/c   y+a/c得到的x和y也是满足方程的

（2）如果c % gcd(a,b) != 0，即c不是gcd(a,b)的整数倍，则无解

（3）c % gcd(a,b) == 0 且 c / gcd(a,b) = t
    那么求出方程 a * x + b * y = gcd(a,b)的所有解x,y，将x,y乘上t，对应的x’,y’即是方程a * x + b * y = t * gcd(a,b)的解

欧拉定理与费马小定理

定义：对于两个互质的正整数a,n(n>2)有a^φ(n)≡1(mod n) 欧拉定理

定义：对于质数p，任意整数a，均满足：a^p≡a（mod p）费马小定理

定义：若正整数a，n互质，那么对于任意正整数b，有a^ b ≡ a^(b mod φ(n))（mod n） 欧拉定理的推论

欧拉函数 φ(n)

定义：在数论中φ(n)=在区间[1，n]中与n互质的数的个数(包括1)

 φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 
 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数;
 x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。
 注意：每种质因数只有一个。     
 例如:         
 φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;         
 φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;        
 φ(49)=49×(1-1/7)=42;

欧拉函数的性质

(1)p^k型欧拉函数

φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1)
证明：

(2)n*m型欧拉函数

若n和m互质则φ(n*m)=φ(n)*φ(m)

(3)欧拉函数的特殊性质

当n为奇数的时候φ(2*n)=φ(n)

对于两个互质的正整数a,n(n>2)有a^φ(n)≡1(mod n)  此公式即欧拉定理

当n=p且a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)≡1(mod n)此公式即 费马小定理

欧拉函数的延伸

等于或等于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(x) * x / 2 (n>1)

完全余数集合

定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Z(n) ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Z(n)| ＝φ(n)

同余定理

如果 a mod b = c 则有(a+kb) mod b =c(k为非0整数)
如果 a mod b = c 则有(ka) mod b =kc (k为正整数)
(a+b) mod c =((a mod c)+(b mod c )) mod c;
(ab) mod c=((a mod c)(b mod c)) mod c

求解同余方程组

求解同余方程组

|x≡ a1​(modm1​)
|x≡ a2​(modm2​)
|x≡ a3​(modm3)
.....
x≡ ak(modm2k)

其中m1,m2,m3…mk​为两两互质的整数
求x的最小非负整数解

定理

积性函数 （可乘函数）

莫比乌斯函数

上面两张图片来自博客https://blog.youkuaiyun.com/tomandjake_/article/details/81083051
未完…