完全背包

背包问题也分很多种，01背包是基础，完全背包就是01背包的延伸。
问题：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积）是w[i],价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路：
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、1件、、、、、很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max{f[i-1][v-kw[i]]+kc[i]}。
将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其他类型的背包问题。
下面看一个例子:
【问题描述】
设有n种物品，每种物品有一个重量和一个价值，但每种物品的数量是无限的。同时有一个背包，最大载重量为m，今从n种物品中取若干件（同一种物品可以多次选取），使其数量的和小于等于m，而价值的和为最大。
【输入格式】
第一行：两个整数，M（背包容量，M<=200）和N（物品数量，N<=30）;
第2至N+1行，每行两个整数Wi,Ci,表示每个物品的重量和价值。
【输出格式】
仅一行，一个数，表示最大总价值。
【输入样例】
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
【输出样例】
max=12
设f[i][v]表示前i件物品，总重量不超过v的最优价值，则f[i][v]=max(f[i-1][v-w[i]]+c[i],f[i][v]);
f[n][m]即为最优解。
因为二维数组占空间比较大，所以改用一维数组。
f[v]=max([v-w[i]]+c[i],f[v]);
代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxm=2001,maxn=31;
int n,m,v,i;
int w[maxn],c[maxn];
int f[maxm];
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>c[i];
     for(i=1;i<=n;i++)
        for(v=w[i];v<=m;v++)
     if(f[v-w[i]]+c[i]>f[v])
        f[v]=f[v-w[i]]+c[i];
     cout<<"max="<<f[m]<<endl;
     return 0;
}