01背包

在DP（动态规划）中有许多个模块，其中，01背包就是其中的一种，在许多问题中都可以直接套这个模板，用处很大。
下面，就来介绍一下01背包。
问题：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积）是w[i],价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路：
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或者不放。
用子问题定义状态：即F[i][v]表示前i件物品（部分或全部）恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值，则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]}.
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为“前i-1件物品放入容量为v-w[i]的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值c[i]。
下面来看一道例题：
【问题描述】
一个旅行者有一个最多能装M公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1,W2,Wn,它们的价值分别为C1,C2,Cn，求旅行者所能获得的最大总价值。
【输入格式】
第一行：两个整数M（背包容量，M<=200）和N(物品数量，N<=30);
第二行至N+1行：每行两个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。
【输出格式】
仅一行，一个数，表示最大总价值。
【输入样例】
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int m,n;
const int maxm=201,maxn=31;
int w[maxm],c[maxn];
int f[maxm][maxn];
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int v=m;v>0;v--)
    if(w[i]<v)  f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
    else f[i][v]=f[i-1][v];
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}