条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
P(A |B) = \frac{P(A B) }{P(B) }
P(A∣B)=P(B)P(AB)
乘法公式
P
(
A
B
)
=
P
(
A
∣
B
)
P
(
B
)
=
P
(
B
∣
A
)
P
(
A
)
P(A B) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A)
P(AB)=P(A∣B)P(B)=P(B∣A)P(A)
推广可得，
P
(
A
1
A
2
A
3
.
.
.
A
n
)
=
P
(
A
1
)
P
(
A
2
∣
A
1
)
P
(
A
3
∣
A
1
A
2
)
.
.
.
P
(
A
n
∣
A
1
A
2
.
.
.
A
n
−
1
)
P(A_1 A_2 A_3 ... A_n) = P(A_1) P(A_2 | A_1) P(A_3 | A_1 A_2) ... P(A_n | A_1 A_2 ...A_{n-1})
P(A1A2A3...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)...P(An∣A1A2...An−1)
全概率公式
设
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
B
n
B_1, B_2, ... , B_n
B1,B2,...,Bn为样本空间
Ω
\Omega
Ω 的一个划分, 则对任一事件
A
A
A有
P
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
A
∣
B
i
)
P
(
B
i
)
P(A) = { \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A | B_i) P(B_i)}
P(A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)
贝叶斯公式
P
(
B
i
∣
A
)
=
P
(
A
∣
B
i
)
P
(
B
i
)
∑
i
=
1
n
P
(
A
∣
B
i
)
P
(
B
i
)
=
P
(
A
∣
B
i
)
∑
i
=
1
n
P
(
A
∣
B
i
)
P
(
B
i
)
P
(
B
i
)
P(B_i | A) = \frac {P(A | B_i) P( B_i)} { \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A | B_i) P(B_i)} = \frac {P(A | B_i)} { \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A | B_i) P(B_i)} P( B_i)
P(Bi∣A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bi)P(Bi)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bi)P(Bi)
B
i
B_i
Bi 常被视为导致试验结果
A
A
A发生的”原因“，
P
(
B
i
)
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
)
P(B_i)(i=1,2,...)
P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；
P
(
B
i
∣
A
)
(
i
=
1
,
2...
)
P(B_i|A)(i=1,2...)
P(Bi∣A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。
实例：
发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“∪”时，收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时，发报台确系发出“∪”的概率。
解：设A事件为收报台收到信号“∪”, B1事件为发报台发出“∪”，B2事件为发报台发出“—”。
P(B1|A）= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923
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