差分约束

作用

给出一些形如x-y<=b不等式的约束，询问是否满足有解。

参考博客

差分约束系统详解

Note

将约束为标题转换成图论里的最短路径问题
求未知数的最大值，那么按小于等于建图后求最短路
如果求未知数的最小值，那么按小于等于建图后求最长路即可。

代码实现

存储结构

const int maxn=10010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,ml,md;
int al[maxn],bl[maxn],dl[maxn];//两点与权值
int ad[maxn],bd[maxn],dd[maxn];
int d[maxn];

所需函数

Bellman-Ford（小于等于建图）

//Bellman-ford
	for(int k=0;k<n;k++){
		for(int i=0;i<n-1;i++){
			//if(d[i+1]<inf)
			d[i]=min(d[i],d[i+1]);
		}
		for(int i=0;i<ml;i++){
			if(d[al[i]-1]<inf){
				d[bl[i]-1]=min(d[bl[i]-1],d[al[i]-1]+dl[i]);
			}
		}
		for(int i=0;i<md;i++){
			if(d[bd[i]-1]<inf){
				d[ad[i]-1]=min(d[ad[i]-1],d[bd[i]-1]-dd[i]);
			}
		}
	}

例题

1）POJ - 3169 Layout

题意

农夫养了N头牛，编号为1到N。按照编号顺序排成一排，在他们之间，有一些牛关系比较好，所以希望彼此之间不超过一定距离，也有一些牛关系比较不好，希望彼此之间至少要满足某个距离。给出了ML个关系好的，以及MD个关系不好的，求1号牛和N号牛之间的最大距离。如果不存在任何一种排列方法满足条件则输出-1.无限大的情况输出-2.

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn=10010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,ml,md;
int al[maxn],bl[maxn],dl[maxn];
int ad[maxn],bd[maxn],dd[maxn];
int d[maxn];
void solve(){
	fill(d,d+n,inf);
	d[0]=0;
	//Bellman-ford
	for(int k=0;k<n;k++){
		for(int i=0;i<n-1;i++){
			//if(d[i+1]<inf)
			d[i]=min(d[i],d[i+1]);
		}
		for(int i=0;i<ml;i++){
			if(d[al[i]-1]<inf){
				d[bl[i]-1]=min(d[bl[i]-1],d[al[i]-1]+dl[i]);
			}
		}
		for(int i=0;i<md;i++){
			if(d[bd[i]-1]<inf){
				d[ad[i]-1]=min(d[ad[i]-1],d[bd[i]-1]-dd[i]);
			}
		}
	}
	int res=d[n-1]; 
	if(d[0]<0){
		res=-1;
	}
	else if(res==inf){
		res=-2;
	}
	printf("%d\n",res);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&ml,&md);
	for(int i=0;i<ml;i++) scanf("%d%d%d",&al[i],&bl[i],&dl[i]);
	for(int i=0;i<md;i++) scanf("%d%d%d",&ad[i],&bd[i],&dd[i]);
	solve();
	return 0;
}