差分约束系统解析-优快云博客

本文介绍了差分约束系统的概念及如何将其转化为最短路径问题进行求解。详细讨论了求解最小值和最大值的方法，并提供了几种不同情况下的具体转换策略。

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差分约束系统可以看成是线性规划的一种特殊情况，可以通过归约到图论中的最短路问题求解。

形式

差分约束系统是若干形如 $(X_i-X_j\ge C_k )$ 的二元差分不等式组成的约束条件，对于差分约束系统的问题，通常是让你求其中两个变量差值的最小值 $min(X_i-X_j)$ 或最大值 $max(X_i-X_j)$ .

求最小值

求一个变量 $X_i$ 比另一个变量 $X_j$ 至少大多少的问题

这种问题可以由大于的传递性分解为若干约束条件:

a至少要比b大c. $(a-b\ge c)$

而在最短路径问题中的边(x指向y，权值为w)的含义是y的距离最多比x大w.

“y的距离最多比x大w” $(dist[y]\le dist[x]+w)$ n $\Leftarrow \Rightarrow$ “x至少要比y大-w” $(dist[x]\ge dist[y]-w)$

所以约束条件 $(a-b\ge c)$ :a至少要比b大c等价于 “b的距离最多比a大-c”也就是a指向b权值为-c

可以通过大于的传递性得到一个变量 $X_i$ 比另一个变量 $X_j$ 至少大多少也就是 $min(X_i-X_j)=max(\sum c)$ ，

但路径上的权值加起来是 $(-\sum c)$ 。要求 $(\sum c)$ 的最大值就是路径 $(-\sum c)$ 的最小值再取相反数就行了,最短路算法计算的过程中 $X_i$ 作为源点.
求最大值

而对于求一个变量 $X_i$ 最多比 $X_j$ 大多少的问题

同理，可以分解为若干约束条件 $(a-b\le c)$ ,意思是a最多比b大c,也就是b指向a权值为c

一个变量 $X_i$ 最多比 $X_j$ 大多少也就是 $max(X_i-X_j)=min(\sum c)$ ,这样就是求从 $X_j$ 出发到 $X_i$ 的最短路径

归纳

求最小值 $min(X_i-X_j)$ ：转化成 $(a-b\ge c)$ 形式的约束不等式
求最大值 $max(X_i-X_j)$ ：转化成 $(a-b\le c)$ 形式的约束不等式

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 求 最 小 值 m i n (X i - X j) (a - b \geq c) ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ X i 作 为 源 点 ： a 指 向 b 权 值 为 - c ， X i 出 发 到 X j 的 最 短 路 的 相 反 数 X i 作 为 源 点 ： a 指 向 b 权 值 为 c ， X i 出 发 到 X j 的 最 长 路 X j 作 为 源 点 ： b 指 向 a 权 值 为 c ， X j 出 发 到 X i 的 最 长 路 求 最 大 值 m a x (X i - X j) (a - b \leq c) {X i 作 为 源 点 ： a 指 向 b 权 值 为 c ， X i 出 发 到 X j 的 最 短 路 X j 作 为 源 点 ： b 指 向 a 权 值 为 c ， X j 出 发 到 X i 的 最 短 路

$\begin{cases} 求最小值min(X_i-X_j)(a-b\ge c) \begin{cases} X_i作为源点：a指向b权值为-c，X_i出发到X_j的最短路的相反数\\ X_i作为源点：a指向b权值为c，X_i出发到X_j的最长路\\ X_j作为源点：b指向a权值为c，X_j出发到X_i的最长路\\ \end{cases}\\ 求最大值max(X_i-X_j)(a-b\le c) \begin{cases} X_i作为源点：a指向b权值为c，X_i出发到X_j的最短路\\ X_j作为源点：b指向a权值为c，X_j出发到X_i的最短路\\ \end{cases} \end{cases}$