快速幂取模

innerheart

于 2021-02-25 13:33:24 发布

阅读量2.6k

点赞数 5

分类专栏：算法文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43569892/article/details/114073902

版权

算法专栏收录该内容

4 篇文章

订阅专栏

引例

求 $a^{b}$ % c的结果，其中0 <= a，b，c <= 1 $e^{9}$ 。

首先考虑O(n)的算法，即b次的a相乘，最后取余c。显然这种算法有两个缺点：

$a^{b}$ 在数很大的时候，计算机无法表示；
线性时间内求解在n很大的时候非常费时。

由此我们引入 $O(\log n)$ 的快速幂取模算法，来解决上述问题。

快速幂取模原理

首先，快速幂取模得以实现，基础是 (a * b) % c = （(a % c) * (b % c)) % c，此处不再证明这条式子。

其次，我们先将引例中的b用二进制来表示： $b = $ $b0 \cdot 2^{0} + b1 \cdot 2^{1} + b2 \cdot 2^{2} + ... + bn \cdot 2^{n}$ ，其中b0，b1，b2是b用二进制表示后的低位到高位。

$\huge a^{b} = a^{b_{0} \cdot 2^{0} + b_{1} \cdot 2^{1} + b_{2} \cdot 2^{2} +...+ b_{n} \cdot 2^{n}}$

$\huge = a^{b_{0} \cdot 2^{0}} \cdot a^{b_{1} \cdot 2^{1}} \cdot a^{b_{2} \cdot 2^{2}} \cdot\cdot \cdot a^{b_{n} \cdot 2^{n}}$

由以上式子，我们已经可以设计出快速幂取模算法：

遍历b的每一个二进制位，显然为1的时候才对结果有贡献
对于b的每一个二进制位，如果为1则与ans相乘，同时a不断平方(从式子中可以看出，a的增长为： $\huge a,a^{2}, a^{4},a^{8},...,a^{2n}$ )
根据基础的式子，每一步都需要取余c

由于遍历的是b的二进制位数，因此只需要 $\log n$ 次就可以遍历完，时间复杂度为 $O(\log n)$ 。

完整代码

下面为快速幂取模的算法。

#define ll long long
ll quickMod(ll a, ll b, ll c)
{
  ll ans = 1;
  a = a % c; // 首先将a约束到c范围之内
  while(b)
  {
    if(b&1) ans = (ans * a) % c;
    b = b >> 1;
    a = (a * a) % c;
  }

  return ans;
}

下面为矩阵快速幂的算法。矩阵快速幂只是将普通的乘法变成矩阵的乘法，然后初始值设为单位矩阵E，其他均为普通快速幂的框架。

#define ll long long
#define maxn 3
struct Matrix
{
  ll m[maxn][maxn];
  Matrix()
  {
    for(int i = 1; i < maxn; i++)
      for(int j = 1; j < maxn; j++)
    {
      m[i][j] = 1;
    }
  }
};
Matrix Mpow(Matrix m1, Matrix m2)
{

  Matrix ans;
  memset(ans.m, 0, sizeof(ans.m));

  for(int i = 1; i < maxn; i++)
    for(int j = 1; j < maxn; j++)
      for(int k = 1; k < maxn; k++)
        ans.m[i][j] = (ans.m[i][j] + m1.m[i][k] * m2.m[k][j]);


  return ans;
}
Matrix quickMod(Matrix a, ll b)
{
  Matrix ans;
  memset(ans.m, 0, sizeof(ans.m));
  for(int i = 1; i < maxn; i++) ans.m[i][i] = 1;

  while(b)
  {
    if(b&1) ans = Mpow(ans, a);
    b = b >> 1;
    a = Mpow(a, a);
  }

  return ans;
}