[蓝桥杯2015初赛]手链样式

最新推荐文章于 2022-04-05 15:59:44 发布

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最新推荐文章于 2022-04-05 15:59:44 发布 · 457 阅读

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#算法

本文通过一个有趣的项链组合问题，探讨了排列组合中的圆排列和翻转概念。小明拥有不同颜色的珊瑚和玛瑙，他希望串成手链送给女朋友。在考虑转动和翻转的情况下，我们利用排列组合公式计算出不同组合样式。最终，通过排除对称排列的影响，得出共有1170种不同的手链样式。

问题

小明有3颗红珊瑚，4颗白珊瑚，5颗黄玛瑙。

他想用它们串成一圈作为手链，送给女朋友。

现在小明想知道：如果考虑手链可以随意转动或翻转，一共有多少不同的组合样式？

题解

这道题采用排列组合的思想来解决。

首先要明白题目中的转动和翻转是什么意思。

由于项链是个圆，因此它符合 圆排列 的特点。如下图1.1所示，是一种圆排列，我们往图中箭头所指示的方向剪去，然后以箭头为逆时针旋转的第一个元素为剪开后的序列的第一个元素，我们可以发现，下面一种同样圆排列可以得出4种不同排列，而且一种圆排列能得到多少个排序取决于圆种的缝隙数，而缝隙数又取决于这个圆排列的元素个数。

因此我们先求出一条项链考虑转动后的方案数。首先C(12，3) * C(9，5) = 27720，是将其平铺时的方案数，如果考虑转动，那么圆排列的元素有12个，也就是说每12种平铺时的方案数等同于一种圆排列，因此 27720 / 12 = 2310。