[蓝桥杯2015初赛]手链样式

问题

小明有3颗红珊瑚，4颗白珊瑚，5颗黄玛瑙。 

他想用它们串成一圈作为手链，送给女朋友。 

现在小明想知道：如果考虑手链可以随意转动或翻转，一共有多少不同的组合样式？ 

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题解

这道题采用排列组合的思想来解决。

首先要明白题目中的 转动 和 翻转 是什么意思。

由于项链是个圆，因此它符合 圆排列  的特点。如下图1.1所示，是一种圆排列，我们往图中箭头 所指示的方向剪去，然后以箭头为逆时针旋转的第一个元素为剪开后的序列的第一个元素，我们可以发现，下面一种同样圆排列可以得出4种不同排列，而且一种圆排列能得到多少个排序取决于圆种的缝隙数，而缝隙数又取决于这个圆排列的元素个数。

因此我们先求出一条项链考虑 转动  后的方案数。首先C(12，3) * C(9，5) = 27720，是将其平铺时的方案数，如果考虑转动，那么圆排列的元素有12个，也就是说每12种平铺时的方案数等同于一种圆排列，因此 27720 / 12 = 2310。

图1.1

我们再考虑翻转。 项链并不是一个平面的圆，而是立体的。因此如图1.2所示，右图的圆排列可以由左图经过左右翻转得到，因此我们需要将方案数再除以2。

图1.2

但这里会出现一种翻转也不会受到影响的排列，我们必须排除掉。如图1.3所示，这样的对称排序是不会受到翻转的影响，考虑一侧，5个位置中选2个放B，剩下3个位置选2个放C，总会有C(5，2) *  C(3，2) = 30种。因此 最后我们先减去这30种情况，答案为(2310 - 30) /2 + 30 = 1170 种。 

图1.3