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烟花释放期望时间算法

最新推荐文章于 2022-03-30 20:51:44 发布

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本文介绍了一种计算最少期望时间内成功释放至少一个烟花的概率问题。通过分析制作与释放烟花的过程，利用数学期望理论，确定了一个单峰凹函数，并采用三分法求解最优解。代码示例展示了具体的实现过程。

题意：制作一个烟花需要n分钟，制作完一个烟花后，可以选择要释放前面所有烟花，或者继续制作下一个烟花，释放烟花需要m分钟，烟花能成功释放的概率是p，问能最少成功释放一个烟花的最小期望时间。

思路：假设每做k个烟花释放一次。那么每轮制作加释放的时间就是k × n + m。有p的概率成功，那么k次都不成功的概率就是 (1-p) ^ k
那么至少有一个烟花释放成功的概率就是 1- (1-p) ^ k
那么需要进行的轮数期望就是1 /（1- (1-p) ^ k）
不理解的话可以考虑一下投掷硬币，正面概率是0.5，那么期望进行次数就是两次。

每轮需要的时间是k × n + m
总共期望进行轮数是1 /（1- (1-p) ^ k）
那么总的期望时间就是
(k × n + m) /（1- (1-p) ^ k）

可以对k进行求导，或者打表，可以发现是一个单峰凹函数
所以我们三分求解即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+100;
double check(double n,double m,double p,double k){
    return (k*n+m)/(1-pow(1-p,k));
}
int main(){
    int T;cin>>T;
    while(T--){
        double n,m,p;cin>>n>>m>>p;
        p/=10000;
        int l=0,r=1e9;
        int TIME=100;
        while(TIME--){
            int lmid=l+(r-l)/3;
            int rmid=r-(r-l)/3;
            double L=check(n,m,p,lmid);
            double R=check(n,m,p,rmid);
            if(L>=R)l=lmid+1;
            else r=rmid-1;
        }
        printf("%.10f\n",check(n,m,p,r));
    }
    return 0;
}