线性变换与矩阵（3Blue1Brown视频笔记）

线性变换（Linear transformation）

线性变换角度解读矩阵

​ 变换和“函数”的定义大体相当，都是获得输入，输出对应的结果。线性变换考虑的是接受一个向量输出一个向量的变换。

​ 对于线性变换而言，它突出“线性”原则。直线在变换后仍然为直线，原点保持固定。线性变换可以看做是“保持网格线平行且等距分布”。我们可以得到线性变换的一个重要推论，即变换后的$\overrightarrow{v}$ 同样本为变换后的$\hat{i}$和变换后的$\hat{j}$的线性组合，并且该线性组合和变换前一致。如下图，他们保持了$\overrightarrow{v}=-1\hat{i}+2\hat{j}$的关系。

​ 变换后的基向量分别落在了$[1-2{]}^T$和$[30{]}^T$这两个位置上，那么根据$\overrightarrow{v}$ 和基的线性组合关系，可以简答的计算出变换后的$\overrightarrow{v}$ 坐标为$[52{]}^T$上。

​ 在线性代数中，我们通常使用$\hat{i}$和$\hat{j}$来表示二维空间的基向量（向量空间中任意一个元素都可以唯一地表示成基向量的线性组合）。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。那么对于二维空间的线性变换而言，我们只需要记录两个基向量变换后的位置，就可以得到任意向量经过该线性变换后的结果。

​ 如此以来，$\overrightarrow{v}$可以是向量空间中的任意元素。在看待线性变换时，我们其实可以从向量的层次跳出来，以整个空间维度来研究线性变换带来的影响。换而言之，更好地体会线性变换对整个空间形状的改变，我们可以对空间中所有的点同时做变换。在下面的图中，白色线为变换前的空间形状，蓝色线为变换后的空间形状。（需要特别指出变换后$\overrightarrow{v}$的坐标$[52{]}^T$代表的是变换后的$\overrightarrow{v}$是在原始空间的位置。在变换后的空间中，用新的基地表示$\overrightarrow{v}$的话，还是$[-12{]}^T$）

​ 那么推广一下，该变换对于空间中任意的元素，可以有如下的表示。

​ 由此可以得出，一个二维线性变换可以仅由四个数字完全确定。如果我们将变换后的基地坐标放到一个$2\times 2$的格子中，称其为$2\times 2$的矩阵。这样我们将可以从线性变换的角度看待矩阵，矩阵的列为变换后的基向量，矩阵和向量的乘法看做他们的线性组合。

特殊的线性变换

旋转

​ 将空间逆时针旋转$90°$ ，有了第一部分的铺垫，可以很快的写出来这个线性变换，$[[01{]}^T[-10{]}^T]$。原理上讲就是同时旋转$\hat{i}$和$\hat{j}$，然后写出他们旋转后的坐标。

剪切（Shear）

​ 保持$\hat{i}$不变，$\hat{j}$移动到$[11{]}^T$

矩阵对应的线性变换

​ 上面我们分析的主体是线性变换，引出了矩阵这一强大的载体。那如果给定矩阵，同样的可以把它分解为线性变换。将原空间的基底对应矩阵的列进行转换，就得到了矩阵如何对应一个线性变换。

​ 那么，考虑一种特殊情况，变换后的基底之间成倍数关系，那么该矩阵会将二维空间（以二维空间为例）的形状改变成什么样子呢？直接上图，也就是将二维空间压成了一维空间。

矩阵乘法

​ 矩阵乘法，在线性变换视角下，可以看做是一个线性变换作用域某个特定向量。向量$[xy{]}^T$可以看做是对基底（矩阵的列）的线性组合。在线性变换前，$[xy{]}^T$作用的对象是$[[10{]}^T[01{]}^T]$，即$[\hat{i}\hat{j}]$。

矩阵乘法与线性变换复合

​ 两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用。

​ 任意两个矩阵乘法。

$$\begin{gathered} M_1{M}_2\ne M_2{M}_1 \\ ABC=A(BC)=(AB)C \end{gathered}$$

参考内容

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