【bzoj3751】[NOIP2014] 解方程

Nightmare丶

于 2019-12-22 22:47:35 发布

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分类专栏：数学文章标签：数学

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本文探讨了在特定范围内寻找多项式方程整数解的方法，利用模运算和多个素数验证提高解的准确性，最终通过秦九韶算法确定解集。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n = 0$

已知每一项的系数ai，求这个方程在[1,m]内的整数解（n，m均为正整数）

【数据说明】
对于30%的数据，0<n≤2，|ai|≤100，an≠0，m≤100；
对于50%的数据，0<n≤100，|ai|≤10100，an≠0，m≤100；
对于70%的数据，0<n≤100，|ai|≤1010000，an≠0，m≤10000；
对于100%的数据，0<n≤100，|ai|≤1010000，an≠0，m≤1000000。

题解：

容易知道：如果一个解x满足表达式=0，则模上一个数也应该满足=0

$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n ≡ 0$ $(m o d$ $p)$

然后我们随便选择一个素数，枚举所有的x，判断表达式是否为0即可

当然多选几个素数肯定会更容易保证答案正确性

最后再用个秦九韶算一算就好了

AC代码：

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/rope>
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
typedef long long LL;
const int MAXN = 10010;
const int mod1 = 1e9+7;
const int mod2 = 1e9+3;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m;LL a[MAXN],b[MAXN]; vector<int> res;
char s[MAXN];
inline bool check(int x){
    LL s1=0,s2=0;
    for(int i=n;i>=0;i--) s1=(s1*x+a[i])%mod1,s2=(s2*x+b[i])%mod2;
    return s1==0 && s2==0;
}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\in.txt","r",stdin);
#endif // ONLINE_JUDGE
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+1); int len=strlen(s+1);
        int ok=1,k=1;
        if(s[1]=='-') ok=-1,k++;
        for(int j=k;j<=len;j++) a[i]=(a[i]*10+s[j]-'0')%mod1;
        for(int j=k;j<=len;j++) b[i]=(b[i]*10+s[j]-'0')%mod2;
        a[i]*=ok; b[i]*=ok;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) if(check(i)) res.push_back(i);
    printf("%d\n",res.size());
    for(int i=0;i<res.size();i++) printf("%d\n",res[i]);
    return 0;
}